Cтраница 1
Но выпуклая бифункция, график-функция которой равна cl /, есть по определению замыкание cl F бифункции F. [1]
Понятие бифункции можно определить и более общим способом, однако данное здесь определение вполне достаточно для наших целей. [2]
График-функции бифункции F4 и FZ - собственные и выпуклые, а график-функция бифункции FI П Fz получается из них при помощи частичной инфимальной конволюции и, значит, тоже выпукла. [3]
Когда бифункций F и G вогнуты, следует вместо нижней грани брать верхнюю. [4]
Каждой выпуклой бифункции F, действующей из R - m в Ип, соответствует в точности одна выпуклая функция / ( и, х) на R n - ее график-функция. [5]
Для вогнутых бифункции операция О определяется аналогично, с той лишь разницей, что вместо нижней грани в ее определении должна участвовать верхняя грань. [6]
Основным примером бифункции, пригодной для наших ближайших целей, будет следующий. [7]
Эффективное множество бифункции F, обозначаемое dom F - это множество тех векторов и 6 М -, для которых функция Fu не равна тождественно оо. Таким образом, dom F совпадает с проекцией график-множества бифункции F на SI 1 и, следовательно, является выпуклым множеством. Если F - собственная бифункция, то dom F состоит в точности из тех векторов и 6 6 IR -, при которых функции Fu - собственные. [8]
Мы назовем выпуклую бифункцию F полиэдральной, если ее график-функция полиэдральна. Связанные с такими бифункциями выпуклые программы мы будем называть полиэдральными. [9]
Иногда полезно представлять бифункции как обобщение многозначных отображений. Пусть F - некоторая бифункция, действующая из Шт в И, такая, что ( Fu) ( х) всюду больше - оо. [10]
Пусть F - выпуклая бифункция, действующая из R - 1 в Шп. Под ( обобщенной) выпуклой программой, связанной с F, мы понимаем задачу минимизации при наличии возмущений, в которой FO минимизируется на 01, а возмущения сводятся к замене FQ на Fu при различном выборе вектора и 6 т - ( Строгое определение программы ( Р) гласит, что ( Р) есть самое F ( ср. [11]
Пусть F - выпуклая бифункция, действующая из 1ЯШ в IR, и ( Р) - связанная с ней выпуклая программа. [12]
Тогда F - собственная выпуклая бифункция, действующая из Лш в R. [13]
Таким образом, кофинитные выпуклые бифункции, действующие из DI в себя, образуют некоммутативную полугруппу относительно умножения. [14]
В § 29 ( Бифункции и обобщенные выпуклые программы) теория множителей Лагранжа обобщается, а в ряде отношений и углубляется. Вводится понятие выпуклой бифункции, которое можно рассматривать как обобщение понятия линейного преобразования. Это понятие применяется для построения теории возмущений экстремальных задач. Для измерения эффекта возмущения используются обобщенные векторы Куна - Таккера. Теоремы 29.1, 29.3 и следствия из них содержат все факты, нужные в дальнейшем. [15]