Cтраница 2
В § 30 ( Сопряженные бифункции и двойственные программы) теория двойственности в экстремальных задачах получает дальнейшее развитие. Практически все в этом параграфе, вплоть до теоремы 30.5, весьма важно. Остающаяся часть параграфа посвящена примерам и при желании читатель может ее пропустить. В § 31 ( Теорема двойственности Фенхеля) мы продолжаем изучать теорию двойственности. [16]
При этом класс всех выпуклых бифункций становится коммутативной полугруппой относительно операции П и роль единичного элемента в полугруппе играет индикаторная бифунк-ция нулевого линейного оператора. [17]
Аналогичные утверждения справедливы для вогнутой бифункции F и выпукло-вогнутой функции / С. [18]
Следствие 30.5.1. Пусть F - замкнутая собственная бифункция, действующая из 8lm в 01, и ( Р) - связанная с F выпуклая программа. [19]
Теорема 30.5. Пусть F - замкнутая выпуклая бифункция, действующая из Dlm в IR, и ( Р) - выпуклая программа, связанная с F. Предположим, что пара двойственных программ ( Р), ( Р) нормальна. [20]
Теорема 37.1. Пусть F - замкнутая выпуклая бифункция, действующая из Ш1 в 01, а функция К принадлежит соответствующему бифункции F классу Q ( F) эквивалентных замкнутых вогнуто-выпуклых функций на R. [21]
Ясно, что F - выпуклая собственная бифункция, действующая из Ш 1 в Еп. График-функция бифункции F есть выпуклый конус в Olm n, именно график процесса А. Если процесс А замкнут, то и бифункция F замкнута. [22]
Так же определяется сопряженная к вогнутой бифункции, с той лишь разницей, что inf в этом определении заменяется на sup. [23]
Пусть FI и Fz - собственные выпуклые бифункций, действующие из R. [24]
Ассоциативный закон сохраняется и для несобственных выпуклых бифункции, если распространить на них операцию умножения, полагая, если необходимо, оо - оо оо. [25]
Следстви е 29.4.1. Пусть F - выпуклая бифункция, действующая из Dlm в Ш, а ( Р) - связанная с ней выпуклая программа. Обозначим через ( cl Р) выпуклую программу, связанную с cl F. Функции возмущений программ ( Р) и ( cl P) совпадают в некоторой окрестности нуля, и, следовательно, обе программы имеют одинаковые векторы Куна - Танкера. [26]
О В § 38 ( Алгебра бифункций) получает дальнейшее развитие аналогия между выпуклыми бифункциями и линейными преобразованиями, которая была столь важна в гл. С помощью обобщенного понятия скалярного произведения, основанного на фенхелевской теории двойственности, исследуются сложение и умножение бифункций. Замечательный и нетривиальный факт состоит в том, что при операции сопряжения эти естественные операции для бифункций сохраняются, как и в линейной алгебре. В § 39 ( Выпуклые процессы) результаты относительно бифункций уточняются для одного класса выпуклозначных отображений, которые еще более похожи на линейные отображения. [27]
F - однозначно определенная по теореме 34.2 замкнутая собственная выпуклая бифункция. [28]
Предыдущие результаты приобретают особенно изящную форму, если бифункция F кофинитна в том смысле, что при всяком и 6 Rm функции Fu кофинитны. [29]
В основе теории двойственности выпуклых программ лежит понятие сопряженной бифункции. [30]