Cтраница 3
Следствие 33.2.2. Пусть F - собственная полиэдральная выпуклая или вогнутая бифункция. [31]
Выпуклые процессы занимают промежуточное положение между линейными операторами и бифункциями. Они образуют алгебру многозначных отображений, обладающую многими интересными свойствами, связанными с двойственностью. [32]
Они формулируются в терми-двойственности соответствующих седловых функций и операции для бифункций. [33]
Понятие сопряженной седловой функции выводится из свойств операции обращения для выпуклых бифункций, рассмотренной в предыдущем параграфе. Таким образом, операция обращения оказывается естественной основой для теории минимакса в такой же степени, как операция сопряжения выпуклых бифункций была естественно основой для теории двойственности выпуклых программ. [34]
Такая же связь существует между замкнутыми сверху седловыми функциями и замкнутыми вогнутыми бифункциями. [35]
Эта теорема есть специальный случай теоремы 33.3. Нетрудно показать, что бифункция F в том и только том случае будет индикаторной бифункцией выпуклого процесса, когда / С обладает указанными в формулировке теоремы свойствами. [36]
Аналогичное утверждение верно для вогнуто-замкнутых седловых функций и замкнутых в образах вогнутых бифункций. В случае полиэдральной выпуклости связь между седловыми функциями и бифункциями становится несколько проще. [37]
График-функции бифункции F4 и FZ - собственные и выпуклые, а график-функция бифункции FI П Fz получается из них при помощи частичной инфимальной конволюции и, значит, тоже выпукла. [38]
Теорему 28.4 также можно распространить на обобщенные выпуклые программы, связанные с произвольными собственными выпуклыми бифункциями. [39]
Теорема 36.6. Пусть ( Р) - выпуклая программа, связанная с замкнутой собственной выпуклой бифункцией F, действующей из Л в Шп. [40]
Эта операция соответствует умножению линейного оператора на действительное число: если jF - выпуклая индикаторная бифункция линейного оператора А, то FK есть выпуклая индикаторная бифункция оператора КА. [41]
О В § 38 ( Алгебра бифункций) получает дальнейшее развитие аналогия между выпуклыми бифункциями и линейными преобразованиями, которая была столь важна в гл. С помощью обобщенного понятия скалярного произведения, основанного на фенхелевской теории двойственности, исследуются сложение и умножение бифункций. Замечательный и нетривиальный факт состоит в том, что при операции сопряжения эти естественные операции для бифункций сохраняются, как и в линейной алгебре. В § 39 ( Выпуклые процессы) результаты относительно бифункций уточняются для одного класса выпуклозначных отображений, которые еще более похожи на линейные отображения. [42]
Как мы увидим впоследствии, этот пример перекидывает мост между линейной алгеброй и теорией выпуклых бифункции. [43]
Позже, в § 38, мы получим другие полезные формулы для вычисления сопряженных с бифункциями, получающимися при помощи некоторых естественных операций, аналогичных сложению и умножению линейных операторов. [44]
Мы можем конкретизировать для выпуклых процессов общие теоремы о свойствах скалярных произведений, содержащих выпуклые или вогнутые бифункции. [45]