Бифуркация - удвоение - период
Cтраница 3
К середине 70 - х годов было уже хорошо известно, что при увеличении параметра в логистическом отображении имеет место последовательность бифуркаций удвоения периода. Теория эта выглядела слишком формально, с точки зрения физиков, и слишком нестрого, с точки зрения математиков, так что Фейгенбауму далеко не сразу удалось опубликовать статью с изложением своих результатов. Эта задержка отчасти компенсировалась тем, что Фейгенбаум активно рассказывал о своей работе на конференциях и семинарах. [31]
В работе ( 664 ] отмечается, что в такой модели при т 3 и изменении одного из параметров может возникнуть последовательность бифуркаций удвоения периода, приводящая к хаосу. [32]
Отметим, что порог синхронизации, по-видимому, следует определять по началу сложного поведения систем при выходе из области синхронизации, например по появлению бифуркаций удвоения периода. [33]
Тип бифуркации зависит от знака мультипликатора при критическом значении параметра: при / JLV 1 происходит бифуркация вилки, а при IJLV - 1 - бифуркация удвоения периода. Если эти бифуркации мягкие ( что определяется нелинейными членами отображения), то появляются либо два симметричных состояния равновесия в случае бифуркации вилки, либо траектория периода два. [35]
 |
Последовательность бифуркаций удвоения периода. [36] |
Число в правой части формулы (2.5.5) представляет собой универсальную постоянную, одинаковую для всех уравнений вида ( 2 5.4), у которых при увеличении параметра возникает вышеописанный каскад бифуркаций удвоения периода и которые удовлетворяют еще некоторым дополнительным условиям. [37]
Хаотическая динамика электронного потока в плазме в данном прибижении изучалось в работе [22], однако, выбор основных пространственных мод в ней был произволен и не обоснован, и исследовались только условия возникновения бифуркаций удвоения периода. [38]
Численные расчеты показывают, что при переходе через границу периодической неустойчивости, вследствие увеличения значения г, вначале возникают периодические колебания n - [ t, л2 ( /) а затем через каскад бифуркаций удвоения периода - хаотические колебания. [39]
Вид такой диаграммы для С ( У5 - 1) / 2 показан на рис. 8.28. На этом рисунке А - критическое значение параметра А, при котором в случае е 0 закапчивается каскад бифуркаций удвоения периода цикла. [40]
Численное моделирование уравнения (3.1) при k 1, 0, В О, В 1 [153] показало, что при значениях параметров, соответствующих [517] ( а 0 4; - 0 0529), бифуркации удвоения периода и переход к хаосу не наблюдаются. Эти явления происходят лишь при больших значениях 1 1 ( 1 1 l l 0 058), что соответствует большим значениям амплитуды внешней силы. [41]
Действительно, из рис. 9.25, иллюстрирующего последовательность переходов между режимами колебаний в гидродинамической модели диода Пирса при изменении плотности ионного фона и параметра Пирса, следует, что основной сценарий перехода к хаосу тот же, что и при условии п 1 0: через каскад бифуркаций удвоения периода. Усложнение динамики определяется появлением неоднозначности ( мультистабильности) на плоскости управляющих параметров. [42]
Описанная ситуация верна для всех неподвижных точек и периодических траекторий отображения / ( ж), так что от симметричной траектории периода Т, xp ( t) yp ( t), ответвляется либо пара симметричных друг другу траекторий того же периода в результате бифуркации вилки, либо траектория удвоенного периода в результате бифуркации удвоения периода. [43]
Удвоение периода Обычно имеется в виду последовательность периодических колебаний, в которой при изменении некоторого параметра происходит удвоение периода. В классической модели бифуркации удвоения периода ( половинной частоты) происходят через монотонно уменьшающиеся интервалы управляющего параметра. После прохождения критического значения параметра ( точки накопления) возникают хаотические колебания. Такой сценарий перехода к хаосу наблюдался во многих физических системах, но не является единственным маршрутом, ведущим к хаосу. [44]
Пусть при а щ система (2.5.4) имеет устойчивое периодическое решение с траекторией уа. При а zi происходит бифуркация удвоения периода, причем траектория va ПРИ a ai теряет устойчивость и от нее ( при a ai) ответвляется траектория vif с двойным периодом. [45]
Страницы: 1 2 3 4