Cтраница 3
Мы намерены найти условия на систему (0.13), (0.14), которые позволят построить приближенное решение w ( с гладкой функцией f), имеющее особенности только вдоль первых / бихарактеристик. Построение требуется провести только при малых у, поскольку внутри R х О можно использовать результаты гл. [31]
Покажем, что характеристические многообразия F3 можно получить, если заданы некоторые кривые С0, называемые бихарактеристиками уравнений поля, и 1-пара-метрическое семейство гиперплоскостей, определенных в каждой точке бихарактеристики. [32]
Предложение 3.3. Пусть р ( х, D) - дифференциальный оператор с вещественной главной частью, К - компактное подмножество и, и предположим, что ни одна из нулевых бихарактеристик не лежит целиком над / С. [33]
Отметим только, что характеристики уравнения р, Я ( ср0 ( ра, х, у, t) Q, в свою очередь описывающего характеристическую поверхность некоторой системы, называются бихарактеристиками. [34]
Центральное место в книге занимает анализ распространения особенностей гиперболических уравнений - как в свободном пространстве, так и при наличии препятствий. Особое внимание уделено случаю касательных бихарактеристик, в исследование которого автор внес значительный вклад. [35]
Таким образом, доказательство сводится к рассмотренному выше случаю. Поскольку при преобразовании с оператором А бихарактеристикам оператора Р соответствуют прямые, параллельные оси х1, теорема доказана и в общем случае. [36]
Но не всякая изотропная кривая является геодезической. Предыдущее рассуждение приводит к выводу, что бихарактеристики уравнений Эйнштейна являются изотропными геодезическими. [37]
Докажите, что WF ( Ф) совпадает с множеством нулевых бихарактеристик в полупространстве t 0, проходящих через начало координат, объединенным со слоем над началом координат. Некоторые из них минуют начало координат, где LCD имеет особенность, другие - нет. [38]
Полоска х ( о), п ( а), удовлетворяющая уравнениям (50.4) и (50.2), называется бихарактеристикой. Из изложенного выше следует, что любое характеристическое многообразие можно получить, склеивая некоторое однопараметричзское семейство бихарактеристик. Этот факт, вероятно, станет более ясным, если ввести в рассмотрение характеристический коноид, образованный семейством бихарактеристик, проходящих через данную точку. Тогда действие возмущения, возникшего в произвольном множестве точек, ограничено огибающей характеристических коноидов, вершины которых лежат в этом множестве точек. [39]
Укажем теперь те условия, при которых решения системы ( 56i), ( 562) образуют характеристическую гиперповерхность. Поверхность ( 54) представляет собою ( п - 1) - мерное многообразие в Rn. В уравнение бихарактеристики входит параметр s и, следовательно, для образования характеристической гиперповерхности ( 54) надо взять семейство бихарактеристик, зависящее от ( п - 2) параметров. [40]
В работах С. С. Григоряна и Р. А. Чередниченко [24], Р. А. Чередниченко [70] рассмотрена осесимметричная задача о действии на упругий слой, покрывающий однородное полупространство, нормального давления. Последнее определяется из решения автомодельной задачи о сильном взрыве со сферической симметрией в воздухе. Используется конечно-разностный метод второго порядка точности совместно с соотношениями на бихарактеристиках. По сравнению с однородным полупространством обнаружена значительная концентрация напряжений на границе раздела. [41]
Беллмана-Ляпунова является сепаратрисой устойчивых точек гамильтоновой системы, ассоциированной с задачей оптимальной стабилизации. Выявлено важное топологическое свойство почти изолированности функции Беллмана-Ляпунова в пространстве всех решений уравнения Гамильтона-Якоби, определенных в окрестности начала координат, позволяющее эффективно восстанавливать эту функцию с помощью достаточного числа симметрии уравнения Гамильтона-Якоби. Сформулированы прикладные методы синтеза оптимальной обратной связи, такие как метод бихарактеристик восстановления лагранжева многообразия функции Беллмана-Ляпунова, метод первых интегралов и обобщенных симметрии, метод дифференцирования вдоль гамильтонова векторного поля, метод деформации алгебраического решения уравнения Гамильтона-Якоби в голономное на полу бесконечном отрезке, алгебраический метод синтеза субоптимального управления заданной структуры, метод приведения уравнения Гамильтона-Якоби к вполне интегрируемой системе внешних дифференциальных уравнений. Получена серия явных первых интегралов для систем с квадратичным гамильтонианом, определяющая уравнения лагранжева многообразия функции Беллмана-Ляпунова. Показана возможность сведения условной вариационной задачи с неголономными связями к задаче на безусловный экстремум с помощью специального подбора функционала; здесь же изложена концепция поля экстремалей и формализм метода Колесникова синтеза оптимальной обратной связи. Приведен метод дифференциальных инвариантов получения дополнительных уравнений, описывающих потенциальную функцию; даны способы вычисления дифференциальных инвариантов в некоторых частных случаях. [42]
S, из того, что и - О при ф 0, р ( х, D) и О, следует, что и О в окрестности S. В частности, если р ( х, D) - эллиптический оператор с аналитическими коэффициентами, то из того, что р ( х, D) и 0 в связной области Q и и О на каком-либо непустом открытом множестве ( / ей, следует, что и О в Q. Таким образом, область ф: 0 строго выпукла относительно таких касательных бихарактеристик. Для дифференциальных операторов второго порядка с вещественным главным символом, как будет показано в § 2, наше техническое условие фактически эквивалентно такому требованию выпуклости. [43]
Беллмана-Ляпунова является сепаратрисой устойчивых точек гамильтоновой системы, ассоциированной с задачей оптимальной стабилизации. Выявлено важное топологическое свойство почти изолированности функции Беллмана-Ляпунова в пространстве всех решений уравнения Гамильтона-Якоби, определенных в окрестности начала координат, позволяющее эффективно восстанавливать эту функцию с помощью достаточного числа симметрии уравнения Гамильтона-Якоби. Сформулированы прикладные методы синтеза оптимальной обратной связи, такие как метод бихарактеристик восстановления лагранжева многообразия функции Беллмана-Ляпунова, метод первых интегралов и обобщенных симметрии, метод дифференцирования вдоль гамильтонова векторного поля, метод деформации алгебраического решения уравнения Гамильтона-Якоби в голономное на полу бесконечном отрезке, алгебраический метод синтеза субоптимального управления заданной структуры, метод приведения уравнения Гамильтона-Якоби к вполне интегрируемой системе внешних дифференциальных уравнений. Получена серия явных первых интегралов для систем с квадратичным гамильтонианом, определяющая уравнения лагранжева многообразия функции Беллмана-Ляпунова. Показана возможность сведения условной вариационной задачи с неголономными связями к задаче на безусловный экстремум с помощью специального подбора функционала; здесь же изложена концепция поля экстремалей и формализм метода Колесникова синтеза оптимальной обратной связи. Приведен метод дифференциальных инвариантов получения дополнительных уравнений, описывающих потенциальную функцию; даны способы вычисления дифференциальных инвариантов в некоторых частных случаях. [44]
Выясняется вопрос, течения типа двойной волны вкладываются в класс произвольных достаточно гладких решений, соответствующих данной характеристической поверхности. Для этого выводится и решается уравнение переноса для скачков нормальных производных основных функций, справедливое вдоль любой бихарактеристики, лежащей на характеристической поверхности. Показано, что для достаточно больших моментов времени течение в окрестности произвольной характеристической поверхности ( 5) можно приближенно считать двойной волной. [45]