Cтраница 4
Полоска х ( о), п ( а), удовлетворяющая уравнениям (50.4) и (50.2), называется бихарактеристикой. Из изложенного выше следует, что любое характеристическое многообразие можно получить, склеивая некоторое однопараметричзское семейство бихарактеристик. Этот факт, вероятно, станет более ясным, если ввести в рассмотрение характеристический коноид, образованный семейством бихарактеристик, проходящих через данную точку. Тогда действие возмущения, возникшего в произвольном множестве точек, ограничено огибающей характеристических коноидов, вершины которых лежат в этом множестве точек. [46]
Укажем теперь те условия, при которых решения системы ( 56i), ( 562) образуют характеристическую гиперповерхность. Поверхность ( 54) представляет собою ( п - 1) - мерное многообразие в Rn. В уравнение бихарактеристики входит параметр s и, следовательно, для образования характеристической гиперповерхности ( 54) надо взять семейство бихарактеристик, зависящее от ( п - 2) параметров. [47]
К 0, то эта функция является гладкой в любом направлении, ортогональном направлению вектора со. Поскольку всякая функция, по теореме Радона, может быть представлена в виде суммы плоских волн, ее особые направления в каждой точке могут быть определены как объединение направлений, особых для этих плоских волн. Приложения понятия волнового фронта к теории дифференциальных уравнений основываются на том факте, что волновой фронт распределения, являющегося решением уравнения с гладкой правой частью, содержит вместе с каждой своей точкой бихарактеристику главного символа соответствующего дифференциального оператора, проходящую через эту точку. [48]
Обозначим через / левый нулевой вектор этого тензора. Далее можно ввести такую кривую х ( A), t ( А), которая приведет уравнение (19.27) к обыкновенному дифференциальному уравнению вдоль этой кривой. Несложные, но длинные общие формулы приводить здесь не будем. В § 22, представим уравнения бихарактеристики и акустического луча для несжимаемого материала, подверженного осе-симметричной начальной деформации. [49]