Cтраница 2
Напомним, что все орисферы компактны; таким образом, интегрирование в 3) ведется по компактному множеству. [16]
Отметим, что эти орисферы, вообще говоря, между ссбой пересекаются. [17]
Более того, каждая орисфера является вложенным подмногообразием той же гладкости, что и данная метрика. Наконец, через две точки на бесконечно удаленной сфере проходит единственная геодезическая. Следовательно, когда V - односвязное многообразие отрицательной кривизны, пространство геодезических G ( V) отождествляется с парами различных точек бесконечно удаленной сферы. [18]
Заметим, что большинство орисфер на Г О оказываются некомпактными и даже незамкнутыми множествами. Для нас существенную роль играют только те орисферы в пространстве Г G, которые являются компактными. [19]
Очевидно, что П - орисферы в пространстве A Z являются компактными подмножествами. [20]
Обратно, предположим, что орисфера С компактна. Тогда фактор-пространство Z / Д компактно и, значит, подгруппа Д не тривиальна. Это непосредственно следует из одной общей теоремы, которую мы приводим без доказательства ( см. Пон-трягин, [31], гл. [21]
Оказывается, что второй класс орисфер в точности эквивалентен обычным вещественным орисферам, которые лежат у них на границе. Второе множество HQ связно, компоненты Н являются областями, а множество HQ имеет меньшую размерность. [22]
Заметьте, что размерность многообразия орисфер равна п, где п - размерность основного пространства. Иначе мы не могли бы надеяться на то, что преобразование Радона функции будет обратимо. [23]
Тот факт, что пространство орисфер является конусом, можно понимать даже без вложения. Это действие должно быть перестановочно с действием группы G. Оно определяется группой А. Это действие определено корректно, благодаря тому что а лежит в нормализаторе S. Вообще, если есть любое однородное пространство группы ( не обязательно группы Ли) G по Я, то нормализатор группы Н действует на нем правыми сдвигами, и это действие перестановочно с действием группы G. В данном случае, поскольку AcN ( S) ( группа А коммутирует с / Со и нормализует ( /), то определено действие А правыми сдвигами. [24]
Итак, мы видим, что невырожденные орисферы в пространстве Q образуют однородное семейство. [25]
В самом деле, предположим, что орисферы xz x0zalttl и xz x0za2u2 имеют общую точку. [26]
Наконец, покажем, что стационарной подгруппой орисфер хг x0z является группа DQZA. Пусть g переводит ори-сферу xz в себя. Следовательно, существует такое Y Г, что yzg, где 1-единица группы О А. [27]
Покажем, что если р 0, то орисфера ( 1) вырождается в точку. [28]
Из определения следует, что любое транзитивное семейство орисфер на X либо совпадает с пространством классов смежности Q Z G, либо получается из Q дополнительными отождествлениями точек. [29]
В этом смысле можно сказать, что пространство орисфер получается из X в результате стягивания. Стягивание состоит в том, что в произведениях полиномов мы отбрасываем все меньшие степени. Это можно сделать непрерывным образом: ввести некий параметр, который все эти члены будет уменьшать и в пределе аннулировать. [30]