Cтраница 4
Лучший способ преподавания математики без сомнения аналитической, которой и принят в Казанском университете, исключая тех частей, где он не может иметь места, каковы, например, основания геометрии. Другому способу и-нельзя следовать в Университете потому что здесь читается полный курс математики; а синтез, как первое изобретение, уступившее после место анализу по его превосходству, остался в одних только началах. Аналитический способ состоит в том, чтоб отношения между величинами в - ражать уравнениями. Его выгоды суть: одинаковый приступ к разрешению всякого роду вопросов, общность ( generalite); далее, и самая большая выгода, что уравнения, которые выражают собою зависимость величин друг от друга, заключают в себе все нужное к разрешению вопроса, освобождают от рассмотрения качеств сих величин и подчиняют ход задачи действиям алгебры, всегда одинаковым, прямым, кратким и которые ведут к разрешениям полным. Невыгода анализа-трудность понимать, происходящая от общности и отвлеченности; наконец, еще та, что с помощью его находятся величины в числах, а следовательно, заключения его, когда под сими величинами разумеются вещи, время или силы природы, должны быть истолкованы, то есть, из чисел снова стать действительными величинами, что представляет иногда большие затруднения и бывает причиной погрешностей. Примером последнего может служить спор Даламберта с Эйлером и Лагранжем о непрерывности кривизны звучащих струн. [46]
Этим кратким очерком свойств евклидова пространства мы и ограничимся, так как более детальное и глубокое изучение этих вопросов не входит в наши задачи и должно быть отнесено к курсу Основания геометрии, с которым студенты педагогических институтов познакомятся на IV курсе. [47]
В заключение отметим, что идея о связи между силовыми полями и внутренней геометрией пространства была высказана задолго до Эйнштейна Риманом в его знаменитой диссертации О гипотезах, лежащих в основании геометрии): Вопрос о том, справедливы ли допущения геометрии в бесконечно малом, тесно связан с вопросом о внутренней причине метрических отношений в пространстве. Этот вопрос, конечно, также относится к области учения о пространстве и при рассмотрении его следует принять во внимание... Отсюда следует, что или то реальное, что создает идею пространства, образует дискретное многообразие, или же нужно пытаться объяснить возникновение метрических отношений чем-то внешним - силами связи, действующими на это реальное. [48]
С помощью линейной алгебры можно постигать основания геометрии, но, разумеется, это должны быть основания, которые школьник может развивать, если он хорошо знаком с геометрией, причем основания геометрии не могут заменить саму геометрию. Однако читателю должно быть ясно, что эти основания геометрии выглядят весьма искусственными. [49]
В новейшей математике актуально бесконечно малые величины снова попали в честь, но теперь в совершенно ином порядке идей; именно, мы встречаем их в геометрических исследованиях Веронезе, а также в Основаниях геометрии Гильберта. [50]
Основания геометрии, перевод с V нем. [51]