Cтраница 3
Так как сказанное относится к любой точке обоих полей ( кроме точки S), то можно утверждать, что между полями устанавливается однозначное соответствие и любая фигура одного поля может быть преобразована в единственно возможную фигуру другого поля. Такое преобразование называется гомологией, точка S - центром гомологии, прямая s - осью гомологии, а треугольники А В С и A iB iC i, в равной мере как и любые другие фигуры, преобразующиеся одна в другую, - гомологичными фигурами. Гомологичные фигуры могут быть расположены как по обе, так и по одну сторону оси. [31]
Как было выяснено в § 49, в случае гомологии соответственные поля имеют целую прямую двойных точек - ось гомологии, которая является двойной прямой, и, кроме того, целый пучок двойных прямых, центр которого является центром гомоло-т и и. [32]
Плоская фигура, иллюстрирующая теорему Дезарга ( см. рис. 1), называется деэарговой конфигурацией или гомологией. Точка S называется дезарговой точкой или центром гомологии, треугольники ABC и А В С - дезарговыми треугольниками, а прямая MNP - дезарговой прямой или осью гомологии. Эта конфигурация состоит из десяти точек и десяти прямых, причем через каждую точку проходит три прямых и на каждой прямой находятся три точки. Эта симметрия в числах будет рассмотрена во второй главе в так называемом принципе двойственности проективной геометрии. [33]
Коллинеация называется в этом случае гомологией. Точка S называется центром гомологии. Прямая s называется осью гомологии. [34]
Гомологии, сохраняющие параллельность, называются аффинными. Наибольший интерес для нас представляет гомология с несобственным центром, называемая родством. В этом случае гомологичные фигуры называются родственными, а ось гомологии - осью родства. [35]
Прямая Ъ пройдет через точки А и В. Треугольники АА А0 и ВВ В0 можно рассматривать как треугольники Дезарга, вершины которых попарно соединены прямыми, пересекающимися в одной точке. В этом случае соответственные стороны пересекаются в точках, лежащих на несобственной прямой, т.е. ось гомологии - несобственная прямая. Такое преобразование называется гомотетией. [36]
Прямая Ъ пройдет через точки А и В. Треугольники АА Ао и ВВ Во можно рассматривать как треугольники Дезарга, вершины которых попарно соединены прямыми, пересекающимися в одной точке. В этом случае соответственные стороны пересекаются в точках, лежащих на несобственной прямой, т.е. ось гомологии - несобственная прямая. Такое преобразование называется гомотетией. [37]
Гомология задана центром S ( рис. 34, б), осью s и парой гомологичных точек А а А. Нужно построить прямую а, гомологичную заданной прямой а, которая параллельна оси гомологии. Возьмем на прямой а произвольную точку В ( не лежащую на прямой AS) и построим гомологичную ей точку В. Если бы прямая а пересекалась с осью гомологии, например, как прямая АС, то гомологичная ей прямая проходила бы через двойную точку С, лежащую на оси гомологии. В приведенной задаче прямая а параллельна оси гомологии, следовательно, пересекается с ней в несобственной точке. Отсюда прямая а также параллельна оси гомологии. Она проходит через точку В. [38]
Касательно к ней в точке касания А проводится окружность произвольного диаметра. Эта окружность рассматривается как направляющая конуса с вершиной S. Прямая Ъ является касательной к коническому сечению. Точка М должна остаться неподвижной, так как она находится на оси гомологии ( двойная точка), поэтому прямую Ь, перспективную прямой Ь, надо провести через ту же точку М касательно к окружности. Касание необходимо потому, что прямые Ь и Ь принадлежат плоскости, касательной к конусу. [39]
Прямая Ь пройдет через точки А и В. Треугольники АА Ао и ВВ Во можно рассматривать как треугольники Дезарга, вершины которых попарно соединены прямыми, пересекающимися в одной точке. В этом случае соответственные стороны пересекаются в точках, лежащих на несобственной прямой, т.е. ось гомологии - несобственная прямая. Такое преобразование называется гомотетией. [40]
Гомология задана центром S ( рис. 34, б), осью s и парой гомологичных точек А а А. Нужно построить прямую а, гомологичную заданной прямой а, которая параллельна оси гомологии. Возьмем на прямой а произвольную точку В ( не лежащую на прямой AS) и построим гомологичную ей точку В. Если бы прямая а пересекалась с осью гомологии, например, как прямая АС, то гомологичная ей прямая проходила бы через двойную точку С, лежащую на оси гомологии. В приведенной задаче прямая а параллельна оси гомологии, следовательно, пересекается с ней в несобственной точке. Отсюда прямая а также параллельна оси гомологии. Она проходит через точку В. [41]
Гомология задана центром S ( рис. 34, б), осью s и парой гомологичных точек А а А. Нужно построить прямую а, гомологичную заданной прямой а, которая параллельна оси гомологии. Возьмем на прямой а произвольную точку В ( не лежащую на прямой AS) и построим гомологичную ей точку В. Если бы прямая а пересекалась с осью гомологии, например, как прямая АС, то гомологичная ей прямая проходила бы через двойную точку С, лежащую на оси гомологии. В приведенной задаче прямая а параллельна оси гомологии, следовательно, пересекается с ней в несобственной точке. Отсюда прямая а также параллельна оси гомологии. Она проходит через точку В. [42]
Нетрудно видеть, что точка В должна леж пь в пересечении прямых BS и A - W; но положение точки / определяется пересечением прямых А В и J. Следовательно, прямая А - 1 единственно возможная, что и устанавливает одно-значцость решения задачи. Сказанное относится к любой точке обоих полей ( кроме точки S), поэтому можно утверждать, что любая фигура одного поля соответствует единственно возможной фигуре другого поля. Приведенное-соответствие называется гомологией, точка S - центром гомологии, прямая 5 - осью гомологии, а треугольники ABC и А В С, в равной мере как и любые другие фигуры, соответственные одна другой - гомологичными фигурами. Гомологичные фигуры могут быть расположены как по обе, так и по одну сторону оси гомологии ( Почему. [43]
Гомология задана центром S ( рис. 34, б), осью s и парой гомологичных точек А а А. Нужно построить прямую а, гомологичную заданной прямой а, которая параллельна оси гомологии. Возьмем на прямой а произвольную точку В ( не лежащую на прямой AS) и построим гомологичную ей точку В. Если бы прямая а пересекалась с осью гомологии, например, как прямая АС, то гомологичная ей прямая проходила бы через двойную точку С, лежащую на оси гомологии. В приведенной задаче прямая а параллельна оси гомологии, следовательно, пересекается с ней в несобственной точке. Отсюда прямая а также параллельна оси гомологии. Она проходит через точку В. [44]
Нетрудно видеть, что точки Я должна лежать в пересечении прямых BS и А - 1; но положение точки 1 определяется пересечением прямых А В и J. Следовательно, прямая А - 7 единственно возможная, что и устанавливает однозначность решения задачи. Сказанное относится к любой точке обоих полей ( кроме точки S), поэтому можно утверждать, что любая фигура одного поля соответствует единственно возможной фигуре другого поля. С, в равной мере как и любые другие фигуры, соответственные одна другой - гомологичными фигурами. Гомологичные фигуры могут быть расположены как по обе, так и по одну сторону оси гомологии ( Почему. [45]