Cтраница 3
Если даны четыре функции, принимающие в двух точках Р и Q фиксированные значения такие, что ангармоническое отношение значений в Р отлично от ангармонического отношения значений в Q, то существует число, зависящее только от разностей аффиксов точек Р и Q и от разностей значений, данных в каждой точке, такое, что во всяком круге с центром в начале и радиусом, большим этого числа, либо одна из этих функций перестает быть мероморфной, либо две функции делаются равными. [31]
Так как проективное преобразование задается теми же формулами, что и преобразование координат, то отсюда следует, что ангармоническое отношение точек не изменяется при проективном преобразовании. [32]
АВ, PQ), а вместе с тем их ангармоническое отношение вполне определяются двумя точками А и В, это ангармоническое отношение представляет собой инвариант рассматриваемых отображений, оно определяет расстояние между точками А и В. Нужно только это ангармоническое отношение надлежащим образом выбрать; необходимо так его нормировать, чтобы было соблюдено свойство аддитивности, которое здесь нужно понимать следующим образом. [33]
Так как при аффинном преобразовании бесконечно удаленная точка на прямой ( проективной) остается неподвижной, то ясно, что это ангармоническое отношение является инвариантом. [34]
Метрическими величинами служат численные инварианты этих преобразований: расстояния выражаются с помощью ангармонических отношений четверок точек, углы - с помощью ангармонических отношений четверок прямых. [35]
Отсюда видно, что общее решение уравнения Риккати может быть выражено через любые три отдельные частные решения, а также, что ангармоническое отношение любых четырех решений постоянно. Формула также показывает, что общее решение является рациональной функцией постоянной интегрирования. [36]
При рассмотрении интерпретации Клейна геометрии Лобачевского было отмечено, что расстояние между двумя точками А и В плоскости Лобачевского в этой интерпретации равно логарифму ангармонического отношения четырех точек - двух данных и двух точек пересечения прямой АВ с абсолютом. Аналогичный результат имеет место и в геометрии Римана. И во всех трех геометриях угол между прямыми а и 6 измеряется логарифмом ангармонического отношения четырех прямых, из коих две это а и Ь, а две другие принадлежат пучку ab и абсолюту, как кривой второго класса. [37]
Если даны четыре функции, принимающие в двух точках Р и Q фиксированные значения такие, что ангармоническое отношение значений в Р отлично от ангармонического отношения значений в Q, то существует число, зависящее только от разностей аффиксов точек Р и Q и от разностей значений, данных в каждой точке, такое, что во всяком круге с центром в начале и радиусом, большим этого числа, либо одна из этих функций перестает быть мероморфной, либо две функции делаются равными. [38]
Ангармоническое отношение четырех точек окружности равно ангармоническому отношению четырех соответствующих значений t следовательно, четыре линии кривизны второго семейства пересекают характеристические окружности в четырех точках с постоянным ангармоническим отношением. [39]
Ангармоническое отношение положительно, если обе точки С и D второй пары находятся между точками А и В первой пары или обе точки С и D одновременно вне отрезка А В ( и наоборот); ангармоническое отношение отрицательно, если точки С к D второй пары разделяются точками А и В первой пары, то есть если одна точка второй пары внутри отрезка А В, другая же вне него; и наоборот, если ангармоническое отношение отрицательно, то точки одной пара разделяются точками другой пары. [40]
Пуанкаре установил), что если условиться называть: прямой - плоское диаметральное сечение двуполостного гиперболоида; окружностью - плоское, не диаметральное сечение этих поверхностей; углом между двумя плоскими диаметральными сечениями ( прямыми), проходящими через какую-либо точку поверхности двуполостного гиперболоида - разделенный на У-1 логарифм ангармонического отношения пары мнимых прямолинейных образующих и пары касательных к этим двум диаметральным сечениям; и длиной отрезка какого-либо диаметрального сечения - логарифм ангармонического отношения двух концов отрезка и двух бесконечно удаленных точек конического сечения, то получим систему названий геометрии Лобачевского. [41]
Пуанкаре установил), что если условиться называть: прямой - плоское диаметральное сечение двуполостного гиперболоида; окружностью - плоское, не диаметральное сечение этих поверхностей; углом между двумя плоскими диаметральными сечениями ( прямыми), проходящими через какую-либо точку поверхности двуполостного гиперболоида - разделенный на У-1 логарифм ангармонического отношения пары мнимых прямолинейных образующих и пары касательных к этим двум диаметральным сечениям; и длиной отрезка какого-либо диаметрального сечения - логарифм ангармонического отношения двух концов отрезка и двух бесконечно удаленных точек конического сечения, то получим систему названий геометрии Лобачевского. [42]
Ангармоническое отношение положительно, если обе точки С и D второй пары находятся между точками А и В первой пары или обе точки С и D одновременно вне отрезка А В ( и наоборот); ангармоническое отношение отрицательно, если точки С к D второй пары разделяются точками А и В первой пары, то есть если одна точка второй пары внутри отрезка А В, другая же вне него; и наоборот, если ангармоническое отношение отрицательно, то точки одной пара разделяются точками другой пары. [43]
АВ, PQ), а вместе с тем их ангармоническое отношение вполне определяются двумя точками А и В, это ангармоническое отношение представляет собой инвариант рассматриваемых отображений, оно определяет расстояние между точками А и В. Нужно только это ангармоническое отношение надлежащим образом выбрать; необходимо так его нормировать, чтобы было соблюдено свойство аддитивности, которое здесь нужно понимать следующим образом. [44]
Надо сказать, что ангармоническое отношение этой четверки ее полностью уже характеризует. В проективной геометрии ангармоническое отношение является простейшим и притом основным числовым инвариантом. Можно показать, что - 5 любой числовой инвариант фигуры относительно проективных преобразова -; ний может быть выражен через ангармонические отношения ее точек или точек фигуры, однозначно строящейся с помощью данной. [45]