Cтраница 3
Компоненты отображения моментов являются первыми интегралами такой гамильтоновой системы. [31]
Первое общее определение отображение момента дано Дж. Сурио, [ S ], хотя частные случаи ( например, связанные с группами Галилея и Пуанкаре) давно уже известны физикам. Нетер, описывающая связь между симметриями и инвариантами в гамильтоновом формализме, есть не что иное, как отображение моментов для одномерной группы Ли симметрии. [32]
Теорема 6.48. Пусть М - пуассоново многообразие, a G - регулярная гамильтонова группа преобразований. Предположим, что ранг отображения момента Р: М - - максимален всюду на множестве уровня Уа Р-1 ее и что остаточная группа симметрии Ga действует на подмногообразии ff a регулярно. [33]
Предположим, что компактное гиперкэлерово многообразие М4 является гиперкэлеровой редукцией линейного гиперкэлерова действия группы G в пространстве Нп. Пусть р, - гиперкэлерово отображение моментов. Для каждой комплексной структуры на Нп ( и, следовательно, на М ассоциированное главное Gc-расслоение изоморфно ц - 1 ( а), т.е. голоморфно. [34]
В гиперкэлеровой ситуации формы o i, u2 и & % задают автоморфизмы 7, J и К поэтому действие группы G, сохраняющее эти симплектические формы, автоматически сохраняет комплексные структуры. На самом деле цс является отображением моментов действия комплексной группы Gc по отношению к голоморфной симплектической форме шс. [35]
Лоясевича [223], доказывается тот факт, что полный набор инволютивных аналитических интегралов геометрически прост. Это следует из полуаналитичности множества критических шчек отображения момента F: L - vR 1 и вытекающей отсюда конструктивности ( в смысле работы [111]) множества критических значений, дополнение к которому в Rn - - имеет конечное число компонент линейной связности. Дополнив множество критических значений С добавочным конструктивным множеством С2, состоящим из перегородок, можно добиться того, чтобы множество Rn-1 ( CiLJC2) распадалось па конечное число дисков. Тогда r F - ( CiLJCa) и условие 3 следует из замкнутости семейства конструктивных множеств относительно взятия полного прообраза при собственном аналитическом отображении. [36]
Кососкалярное произведение векторов на Fp определяется, как ко-соскалярное произведение их прообразов при проекции Мр - t Fp, приложенных в одной точке слоя проекции. Можно доказать, что касательное пространство ТХМР к слою отображения моментов и касательное пространство Tx ( Gx) к орбите группы G являются косоортогональны-ми дополнениями друг друга в касательном пространстве ТХМ и пересекаются по изотропному касательному пространству Tx ( Gpx) к орбите стабилизатора Gp. Отсюда следует корректность определения кососка-лярного произведения и его невырожденность. [37]
К, не является аффинной, но содержит в качестве плотного открытого множества кокасательное расслоение к многообразию модулей стабильных ( 7с - расслоений аналогично тому, как кокасательное расслоение к СР1 является одной из комплексных структур метрики Егучи - Хансона. В этом случае компактность поверхности налагает граничные условия на уравнения отображения моментов, найти явное решение которых не удается. [38]
Ниже автором будет дано полное описание интегральных многообразий Xn l, обобщающих трехмерные изоэнергетические поверхности и описывающие бифуркации торов Лиувилля общего положения в окрестности критических точек отображения момента интегрируемой гамильтоновой системы. Другими словами, Xn l - прообраз регулярной кривой ( при отображении момента), транс-версально пересекающей бифуркационную диаграмму. [39]
Большинство новых приложений отображения момента связаны с понятием симплектической редукции. Эта процедура, восходящая к классической гамильтоновой механике, естественным образом формулируется в терминах отображения момента. [40]
Остается надежда на бесконечномерную редукцию. Так, например, многообразия модулей инстантонов наделяются гиперкэ-леровой структурой с помощью интерпретации уравнений Янга - Миллса как уравнений отображения моментов, но эти многообразия либо некомпактны, либо имеют особенности, соответствующие приводимым связностям. Однако возможно, что, допуская связности с особенностями, мы получим более регулярные многообразия модулей. Это не означает, что нам удастся в явном виде отыскать на них метрику ( работа [ АН ] показывает, что явный вид дается большим трудом), но мы получим более глубокое понимание универсальности геометрии, связанной с кватернионами. [41]
Пусть па М2 задана максимальная линейная алгебра Ли гладких функций G. G днффеоморфны ( согласно теореме 1 § 2) r - мерным торам Тг, где r indG, то неособыми слоями общего положения отображения момента F являются именно эти торы Тг. [42]
С другой стороны, уравнения антиавто - дуальности, как объясняется в / 4 /, тоже можно интерпретировать в контексте голоморфных расслоений как условие равенства нулю отображения моментов, только на этот раз - для бесконечномерной калибровочной группы. Возможно, что геометрическая причина такого совпадения содержится в идеях Корригана и Нама [ 2j о дуальной природе дшм-конструкции, преобразующей коммутационные уравнения для дифференциальных операторов в формально похожие на них коммутационные уравнения для матриц. [43]
Алгебра Ли G называется компактной, если существует положительно определенное скалярное произведение, на G, инвариантное относительно всех внутренних автоморфизмов. Условие полупростоты образа отображения момента F: M - G из теоремы 12 автоматически выполне-но для компактных алгебр Ли. В связи с этим представляют интерес достаточные условия компактности алгебры Ли G интегралов системы sgrad Я. Ниже мы приводим более слабое условие, обеспечивающее компактность алгебры Ли интегралов и, используя теорему 12, получим следующее утверждение. [44]
Данные об этом расслоении можно извлекать из формул, выражающих связь между коммутирующими и некоммутирующи-ми интегралами системы. Здесь возникает много интересных пока еще не решенных задач. Например, представляет интерес уста-но-вить геометрический смысл аналитических формул, превращающих некоммутативную алгебру интегралов в коммутативную. Как мы покажем - ниже, эти формулы определяются отображением момента и коммутативной алгеброй интегралов, которая часто существует на некоммутативной максимальной линейной алгебре функций. Меняя эти алгебры, мы будем менять расслоения торов Лиувилля на меньшие ( маломерные) торы. [45]