Cтраница 4
Первое общее определение отображение момента дано Дж. Сурио, [ S ], хотя частные случаи ( например, связанные с группами Галилея и Пуанкаре) давно уже известны физикам. Нетер, описывающая связь между симметриями и инвариантами в гамильтоновом формализме, есть не что иное, как отображение моментов для одномерной группы Ли симметрии. [46]
Оно уже поддается распространению на бесконечномерную теорию гамильтоновых систем эволюционных уравнении. Важный частный случай пуассоновой структуры - структура Ли - Пуассона на алгебре, двойственной к алгебре Ли, изначально открытая Ли и с большим эффектом использованная позднее в геометрическом квантовании, теории представлений, механике жидкости и плазмы. При этом общем подходе к гамильтоно-вой механике законы сохранения могут возникать не только из свойств симметрии системы, но также из вырожденности самой скобки Пуассона. В конечномерной ситуации каждая однопара-метрическая гамильтонова группа симметрии позволяет нам понизить порядок системы на две единицы. В современной формулировке возможная степень редукции для многопараметрических групп симметрии дается общей теорией Марсдена и Вейнстеина, основанной на понятии отображения момента в алгебру, двойственную к алгебре Ли симметрии. В более современных работах проявляется большой интерес к системам дифференциальных уравнений, обладающим не только одной, а двумя различными ( но согласованными) гамильтоновыми структурами. Для таких бигамильтоновых систем имеются прямые рекурсивные средства построения бесконечной иерархии взаимно коммутирующих потоков ( симметрии) и соответствующих законов сохранения, указывающей на полную интегрируемость такой системы. Большинство солитонных уравнений, а также некоторые бесконечномерные вполне интегрируемые гамильто-новы системы являются на самом деле бигамильтоновыми. [47]