Cтраница 4
Ясно, что w l имеет решение, если и только если естественное отображение G в группу ( G F) / N, где N - нормальное замыкание w, является вложением. Простым примером уравнения, имеющего решение, может служить xng-l l ( или xng), если g не есть элемент конечного порядка в G, так как тогда ( G F) / N - свободное произведение с объединенной подгруппой. В этом случае ясно, что ( G F) / N является HNN-расширением. Если подгруппы, порожденные этими множествами неизоморфны, то система не имеет решения. Существует несколько нерешенных проблем в теории уравнений над группами, имеющих тесную связь с топологией. [46]
Пространства Мт ( Оп) и Mm ( SOn) вместе с естественными отображениями определяют спектры ( как объекты в соответствующей категории), обозначаемые МтО и MmSO соответственно. [47]
В силу теоремы о гомоморфизмах ( см. ниже, § 11) эти естественные отображения алгебр на факторалгебры по конгруэн-циям ярляются гомоморфизмами ( см. [105], гл. [48]
В противном случае заметим, что / Сг 1 П AI П так что естественное отображение Л 1 на At i / Ai является мономорфизмом подгруппы / Cf i - Таким образом, K. [49]
Итак, мы показали, что любая подгруппа определяет мономорфизм в группу, а именно естественное отображение, при Котором элементы подгруппы переходят сами в себя. [50]