Cтраница 4
Для римановых многообразий, наделяя касательное пространство плоской метрикой ( см. определение 9.17), можно показать, что экспоненциальное отображение не уменьшает длин касательных векторов ( точную формулировку см. Бишоп и Криттенден ( 1967, с. Сопоставляя якобиевы поля на данном римановом многообразии с якобиевыми полями в R и используя теорему сравнения Рауха, можно получить простое доказательство этого факта. Для доказательства аналогичных результатов для пространств с неотрицательной времениподобной секционной кривизной мы воспользуемся времениподобной теоремой сравнения Рауха ( см. Флаэрти ( 1975а, с. Интуитивно ясно, что приведенное ниже следствие 10.12 выражает тот факт, что если времениподобные секционные кривизны ( М, g) положительны, то направленные в будущее времениподобные геодезические, исходящие из данной точки, разбегаются в М быстрее, чем соответствующие геодезические в пространстве-времени Минковского. Напомним, что канонический изоморфизм Т0 определен в разд. [46]
И) На М нет сопряженных точек; следовательно, универсальная накрывающая М многообразия М диффеоморфна любому касательному пространству посредством экспоненциального отображения. [47]
Для любого поля / С существует естественный кольцевой гомоморфизм целых чисел Z в простое подполе из / С Таким образом, в формулах экспоненциального отображения, описывающего те автоморфизмы алгебры L, которые порождают соответствующие группы Ли, целочисленный базис позволил Шевалле заменить поле комплексных чисел С на поле / С. В частности, для конечного поля / С получаются конечные группы. [48]
Этим доказано, что D6 ( хг, 0) является топлинейным изоморфизмом, и, значит, доказано, что ограничение на нормальном расслоении экспоненциального отображения является локальным изоморфизмом на нулевом сечении. [49]
Обозначим чрез - f петлю в Stab ( F), которая является образом сегмента [ 0 Х ] С stab ( F) при экспоненциальном отображении. [50]