Cтраница 3
Если f: X - - Y - совершенное отображение, то для каждого замкнутого А с X и любого В с У сужения f A: Л - У и fa: f - l ( B) - - B являются совершенными отображениями. [31]
Как отмечено в последнем абзаце примера 3.1.26, совершенные отображения могут увеличивать характер пространств. [32]
Пусть f: X - - Y - совершенное отображение локально компактного ( хаусдорфова) пространства X на пространство У. По теореме 3.3.2, для каждого у е У найдется открытое множество VczX, такое, что f - l ( y) d V и V компактно. [33]
Если f: X - - Y - совершенное отображение тихоновского пространства X на вещественно полное пространстве Y, то пространство X вещественно полно. [34]
Заметьте, что сильная паракомпактность не является инвариантом совершенных отображений. [35]
Помимо совершенных отображений рассматривается и более Широкий класс почти совершенных отображений. Непрерывное отображение /: Х - - Y называется почти совершенным, если f замкнуто и все прообразы точек f - l ( y) - компактные подпространства пространства X. Следовательно, совершенные отображения - это в точности почти совершенные отображения, определенные на хаусдорфовых пространствах. [36]
Диагональное произведение h fA ( gf) является совершенным отображением в силу последней теоремы. [37]
Остальные аксиомы отделимости не сохраняются в сторону прообраза совершенными отображениями. Чтобы убедиться в этом в случае наследственной нормальности и совершенной нормальности, достаточно отобразить / с на одноточечное пространство ( см. упр. [38]
Компактность и локальная компактность сохраняются в сторону прообраза совершенными отображениями. [39]
Если топологическое свойство 9 сохраняется в сторону прообраза совершенными отображениями и наследуется открыто-замкнутыми подпространствами, то в хаусдорфовых пространствах свойство & наследуется и замкнутыми подпространствами. [40]
Следовательно, теоремы о сохранении в сторону прообраза совершенными отображениями топологических свойств являются обобщениями соответствующих теорем о произведениях. Как показано в следующей теореме, в классе тихоновских пространств для всех топологических свойств, наследуемых замкнутыми подпространствами, сохранение в сторону прообраза совершенными отображениями равносильно сохранению этих свойств при умножении на любые компакты. [41]
Предположим, что / i и / 2 - совершенные отображения, и пусть Z - топологическое пространство; отображение ft X /, х iz является композицией отображений ir x / 2Xi2 и / iXi Xi2, которые в силу предположения замкнуты; следовательно, А х / 2 х iz замкнуто ( § 5, предложение 1а) и f - fiXfz совершенно. [42]
Заметьте, что наследственная несвязность не является инвариантом ни совершенных отображений, ни открытых отображений. [43]
Если G действует совершенно в Е, то рк - совершенное отображение. [44]
Утверждение относительно замкнутых множеств вытекает из предложения 1 и замкнутости совершенного отображения ( гл. I, § 10, предложение 1); утверждение относительно компактных множеств тривиально. [45]