Cтраница 2
Знание точечного отображения позволяет найти предельные циклы системы как его неподвижные точки. [16]
Метод точечных отображений был применен к релейным системам автоматического регулирования, к исследованию нелинейных сервомеханизмов, систем циклической автоматики, экстремальным регуляторам, системам массового обслуживания конфликтных потоков заявок и марковским системам, к исследованию процессов вибропогружения и виброперемещения, виброударным системам и системам с ударными взаимодействиями, к исследованию часовых ходов, нелинейных демпферов, цифровых систем, систем с переменной структурой, к задачам фазовой автоподстройки и синхронизации, к исследованию колебаний механических систем с конструкционным демпфированием и люфтом, к гироскопическим системам, к нелинейным радиотехническим системам, к изучению колебаний вала в подшипнике и многим другим. [17]
Метод точечных отображений до сих пор не удается сколь-либо эффективно применять к системам, порядок которых выше трех. Это привлекло внимание и силы к решению более частных задач; при этом центральной стала проблема определения периодических решений: автоколебаний - в автономных системах и вынужденных колебаний в полосе захватывания - в системах, подверженных внешним периодическим воздействиям. Был предложен частотный метод, позволяющий точно в форме полных ( без пренебрежения гармониками) рядов Фурье определять периодические движения релейных систем и их устойчивость по отношению к малым возмущениям. Первоначально казалось, что метод этот принципиально пригоден лишь в тех случаях, когда нелинейная характеристика состоит из кусков горизонтальных прямых, и поэтому форма выходных колебаний нелинейного элемента может быть заранее предопределена с точностью до неизвестных времен движения по отдельным участкам нелинейной характеристики. Однако позже было показано, что это не так, и был разработан метод определения периодических решений в форме полных рядов Фурье, пригодный для системы, содержащей нелинейные элементы, характеристики которых состоят из кусков двух произвольных прямых. Это последнее ограничение через некоторое время было снято, и таким образом указанная серия работ была завершена разработкой общего метода точного ( без пренебрежения гармониками) определения периодических движений в системах, содержащих нелинейный элемент с произвольной кусочно-линейной характеристикой. [18]
Вид точечного отображения вблизи границы перехода к хаосу показан на рис. 9.35, е, При дальнейшем увеличении параметра g максимум отображения резко возрастает, а падающий участок становится все круче. [19]
Знание точечного отображения позволяет найти предельные циклы системы как его неподвижные точки. [20]
Разумеется, точечные отображения вида ( 2) могут быть определены и вне всякой связи с какими-либо конкретными системами дифференциальных уравнений. Рассмотрим простой пример из области экологии. Допустим, у нас есть популяция бабочек, размножающихся в определенное время года. [21]
Это есть линейное точечное отображение. Собственные значения ak матрицы А с элементами aik называются мультипликаторами. Если среди мультипликаторов ak имеются такие, для которых а - 1, то неподвижная точка отображения ( 2) будет неустойчивой. [22]
Возможные виды точечного отображения в окрестности неподвижной точки такие же, как и для особых точек дифференциального уравнения, и все сказанное выше о них применимо и к неподвижным точкам. Дальнейшее рассмотрение этого точечного отображения Т проведем независимо от его происхождения. [23]
Такая структура точечного отображения сохраняется при малых возмущениях параметров, от которых точечное отображение и его производная зависят непрерывно. [24]
Исторически метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний вырос из так называемого метода припасовывания или сшивания, состоящего в замене нелинейных характеристик кусочно-линейными и последующей припасовке явных решений, соответствующих разным линейным уравнениям. [25]
Описание метода точечных отображений в теории нелинейных колебаний представляет ряд трудностей, как в силу незавершенности, так ив силу большого объема материала и неясности и спорности его границ. Оно должно включать описание арсенала математических средств и желательных направлений дальнейшего их развития, описание приемов конкретного исследования и типов изученных конкретных систем, описание результатов использования метода точечных отображений для изучения общих вопросов теории нелинейных колебаний, описание новых возможностей, открывающихся в связи с появлением вычислительных машин, А также новых областей приложения и возможных точек роста. [26]
Применение метода точечных отображений к изучению движений конкретной динамической системы, как правило, сопряжено с - преодолением значительных вычислительных трудностей. [27]
Если для точечного отображения 7, воспользоваться выражениями (4.11), то процедуру отыскания неподвижных точек полного отображения Т 7 2 - 1 можно свести, аналогично случаю фазовой плоскости, к некоторым геометрическим построениям. [28]
Возможные виды точечного отображения в окрестности неподвижной точки такие же, как и для особых точек дифференциального уравнения, и все сказанное выше о них применимо и к неподвижным точкам. Дальнейшее рассмотрение этого точечного отображения Т проведем независимо от его происхождения. [29]
Такая структура точечного отображения сохраняется при малых возмущениях параметров, от которых точечное отображение и его производная зависят непрерывно. Поэтому зависимость числа вращения от таких параметров такова, что каждое рациональное значение р, сохраняется неизменным в некоторых областях их изменения. На рис. 7.39 изображен примерный график зависимости числа вращения от параметра, который обозначим буквой v, с соблюдением этого требования. [30]