Cтраница 3
Эти m отображений используются для построения одного сжимающего отображения Т в пространстве К, всех непустых компактов из Rn. [31]
Существование и единственность равновесия снова вытекают из принципа сжимающих отображений. [32]
Особо отметим одно существенное отличие предыдущих теорем от принципа сжимающих отображений ( теорема 5.1): в силу этих теорем неподвижные точки существуют, но они не обязаны быть единственными. [33]
Сходимость последовательных приближений в этом случае вытекает из принципа сжимающих отображений. Не составляет затруднений переформулировать теорему 7.5 и в предположении, что правая часть системы (7.5) является обобщенным сжатием. Аналогичное замечание относится также к следующей теореме. [34]
Если к тому же s 1, то / есть сжимающее отображение. [35]
В заключение отметим, что центральная идея метода итераций - сжимающие отображения - является весьма общей. Для многих типов нелинейных уравнений принцип сжимающих отображений является, по существу, единственным методом их исследования и решения. Существенные обобщения допускает также метод Ньютона. Оба метода в своей общей форме играют важную роль в современной математике. [36]
В случае, если fo: Х - Х - сжимающее отображение неполного метрического пространства X в еебя, то неподвижной точки может не существовать. [37]
Для разрешимости уравнения ( 6) относительно q применяется принцип сжимающих отображений. [38]
Липшица и длина выбираемого интервала изменения переменной t достаточно малы, то получается сжимающее отображение. Отсюда следуют теоремы локального существования и единственности. Для объединения этих локальных решений в глобальное требуются уже отдельные рассуждения. [39]
Следующий очень важный и общий критерий существования неподвижной точки широко известен как принцип сжимающих отображений С. Этот критерий позволяет установить не только существование неподвижной точки, но и ее единственность. По существу он дает достаточные условия существования единственной глобально устойчивой неподвижной точки. [40]
Описанные выше критерии существования неподвижной точки и особенно критерий, основанный на принципе сжимающих отображений, в тех случаях, когда его удается применить, дает значительные, а иногда и исчерпывающие сведения о поведении изучаемой системы. В качестве примера можно привести произвольную механическую систему с взаимными и собственными комбинированными трениями без падающих участков характеристик трения. К такой системе возможно применение принципа сжимающих отображений, позволяющее установить глобальную устойчивость многообразия состояний равновесия или периодических движений при воздействии на такую систему внешней периодической силы. Применение принципа сжимающих отображений позволяет установить существование и единственность вынужденных колебаний в системе с так называемым конструкционным демпфированием. Соответствующие примеры могут быть продолжены, но все же они не очень многочисленны, поскольку далеко не всегда имеется сжимаемость. В настоящем разделе излагается метод вспомогательных отображений, позволяющий расширить применение критерия о существовании и единственности неподвижной точки на несжимающие отображения. Ради геометрической наглядности это изложение, как и относящиеся к нему примеры, будет ограничено двумерными точечными отображениями. [41]
Следующий очень важный и общий критерий существования неподвижной точки широко известен как принцип сжимающих отображений С. Этот критерий позволяет установить не только существование неподвижной точки, но и се единственность. [42]
Описанные выше критерии существования неподвижной точки и особенно критерий, основанный на принципе сжимающих отображений, в тех случаях, когда его удается применить, дает значительные, а иногда и исчерпывающие сведения о поведении изучаемой системы. В качестве примера можно привести произвольную механическую систему с взаимными и собственными комбинированными трениями без падающих участков характеристик трения. К такой системе возможно применение принципа сжимающих отображений, позволяющее установить глобальную устойчивость многообразия состояний равновесия или периодических движений при воздействии на такую систему внешней периодической силы. [43]
Функции, которые убывают по расстоянию на метрическом или псевдометрическом пространстве, называются сжимающими отображениями, и для нас они играют роль гомоморфизмов. [44]
Поскольку сюда входит Якнорма 5Ь мы не можем надеяться на непосредственную применимость стандартного принципа сжимающих отображений. [45]