Cтраница 3
Предложения, сформулированные выше для максимальных и нормальных областей, следуют из их определений и из определения внутренних отображений. [31]
Риманова накрывающая поверхность была определена при помощи свойства многообразия V в целом, а именно предполагалось существование внутреннего отображения V в сферу. Это свойство является топологическим и не использует конформных отображений. Несмотря на это, на любой римановой накрывающей можно ввести конформную метрику, если при помощи отображения Т перенести на V конформную метрику сферы. [32]
Заметим, что определение нормально исчерпываемых поверхностей применимо также и к накрытиям произвольной ориентируемой поверхности, определяемым внутренними отображениями ( гл. [33]
Если свойства 1 и 2 доказываются для внутренних отображений, определяющих полные накрытия, то применяется теорема обращения внутренних отображений. [34]
Таким образом, любое внутреннее отображение топологически эквивалентно аналитической функции, а следовательно, топологическая теория аналитических функций совпадает с теорией внутренних отображений. [35]
Ясно, что всякое обобщение аналитических функций, при котором сохраняются топологические свойства последних, не должно выводить из класса функций, осуществляющих внутренние отображения. Поэтому теория внутренних отображений весьма важна для всех, кто интересуется обобщениями теории аналитических функций как с теоретической, так и с прикладной точки зрения. [36]
Можно доказать, что при наложении некоторых условий на У, если ( 4) является псевдобулевым гомоморфизмом, то ф является внутренним отображением. [37]
Можно доказать, что при наложении некоторых условий на Y, если ( 4) является псевдобулевым гомоморфизмом, то ф является внутренним отображением. [38]
Таким образом, здесь не смогли найти отражение вышедшие после 1938 г. многочисленные работы, относящиеся к топологии аналитических функций одного комплексного переменного и, в частности, к внутренним отображениям, изучению которых посвящены две последние главы этой книги. [39]
Значение внутренних отображений для теории функций заключается в следующей теореме, доказанной в V главе: если V - произвольное двумерное топологическое многообразие и W - евклидова сфера, то всякое внутреннее отображение ( /) многообразия V в сферу становится аналитической функцией, а V-ее римано-вой поверхностью, если ввести в V надлежащую метрику. Другими словами: всегда существует такое топологическое отображение V на риманову поверхность R, преобразующее ( /) в аналитическую функцию, для которой R служит римановой поверхностью. [40]
В заключение этой главы можно сказать, что общая теорема эквивалентности показывает, что все свойства, которые мы называли топологическими свойствами аналитических функций, являются следствием двух основных свойств, характеризующих внутренние отображения. [41]
Каждая трансверсаль а лежит над одной из трансверсалей Сг - Пусть Х ( о) - отношение длины о к длине той ft, на которую или на частичную дугу которой отображается о при помощи внутреннего отображения, определяющего накрытие. [42]
В отличие от абстрактных римановых поверхностей, которые были определены при помощи локального свойства: возможности конформного отображения некоторой окрестности любой точки на круг на плоскости, - римановы накрывающие поверхности были введены при помощи свойства в целом: существования внутреннего отображения их топологической модели в сферу. [43]
Итак, рассмотрим на сфере V0 произвольную фиксированную жорданову область Д и естественную евклидову сферическую метрику. Внутреннее отображение Т определяет риманово накрытие I / Q областью W. W), к которому применимы теоремы Альфорса. [44]
Пятая глава целиком посвящена этой проблеме. Понятие внутреннего отображения приводит к ее решению, так же как понятие ориентируемой поверхности приводит к решению аналогичного вопроса для римановых поверхностей. [45]