Cтраница 4
Ясно, что всякое обобщение аналитических функций, при котором сохраняются топологические свойства последних, не должно выводить из класса функций, осуществляющих внутренние отображения. Поэтому теория внутренних отображений весьма важна для всех, кто интересуется обобщениями теории аналитических функций как с теоретической, так и с прикладной точки зрения. [46]
Это возможно согласно теореме об обращении внутренних отображений ( гл. Действительно, для каждой точки а Т ( А) существует такое положительное число р, что максимальная область ( C [ t aj) для круга Ct радиуса рг с центром в А односвязна. [47]
С другой стороны, любая аналитическая функция осуществляет внутреннее отображение. [48]
Вторая глава содержит данное a priori абстрактное определение понятия римановой поверхности, которое отличается от определения Вейля и Радо тем, что использует понятие непрерывного накрытия, позволяя тем самым ( без обращения к триангуляции) различать листы и точки ветвления. Это определение будет упрощено в V главе при помощи понятия внутреннего отображения. Здесь же оно используется при доказательстве теоремы существования функции, соответствующей заданной римановой поверхности. Общая идея изложенного в этой книге доказательства принадлежит Куранту и Фату. [49]
Отображения, обладающие указанными свойствами, называются внутренними и были введены и систематически изучены румынским математиком С. Ему, в частности, принадлежит следующий основной результат: всякое внутреннее отображение можно представить в виде суперпозиции топологического и последующего аналитического отображения. Из этого результата следует, что точки многолистности внутреннего отображения расположены изолированно и что, с точностью до топологических деформаций, отображение в окрестности таких точек ведет себя как степень. Таким образом, квазиконфррмные отображения включаются в более общий класс внутренних отображений. [50]