Логистическое отображение
Cтраница 3
 |
Квадратичное отображение / f ( t на единичном интервале. [31] |
Данное логистическое отображение, представляющее собой, наверное, простейшее нелинейное разностное уравнение, появляется и во многих других ситуациях. [32]
В нашей модели парабола смотрит ветвями вверх. Во многих публикациях описаны примеры логистических отображений, где также наблюдается парабола, но она смотрит вниз. Хаотический характер обратной связи в обоих случаях сходный. [33]
Скейлинг работает и в докритической, и в закритической области. Мы видели, что при А 2 логистическое отображение демонстрирует развитый хаос. Можно указать такую сходящуюся к критической точке сверху по закону Фейгенбаума последовательность значений А 1, для которых режим развитого хаоса, допускающий кодирование траекторий произвольными последовательностями двух символов, имеет место у отображения, определенного за 1k временных шагов, это так называемые точки Мизюревича ( см. таблицу на с. Поэтому, взяв сколь угодно малый интервал параметра ( Ас, Ас е), мы непременно найдем в нем точки, где реализуется хаос. В этом смысле критическая точка служит границей хаоса. Полная же картина динамических режимов в закритической области очень сложна, содержит как хаос, так и окна периодических режимов. [34]
В соотношении (2.6) мы узнаем исследованное в предыдущем разделе отображение зуб пилы, для которого было установлено присутствие хаоса. Следовательно, хаос имеет место и в логистическом отображении. [35]
 |
Логистическая кривая. квадратичная обратная связь. [36] |
Если с0 0.5, Cj - 0.7, с2 1.2, то по значениям цены ( предполагается, что они лежат в интервале от 0 до 1) в предыдущий момент времени можно вычислить текущую цену. На рис. 3.2 показана так называемая логистическая кривая1 ( или логистическое отображение), получающаяся при выбранных значениях параметров. Для цен ниже 0.4 видна сильная положительная обратная связь, тогда как для цен выше 0.4 имеется менее сильная отрицательная обратная связь. [37]
Для более полного анализа модуляционной перемежаемости у порога установления полной синхронизации линейного приближения недостаточно. Мы не будем рассматривать специальные случаи симметричного отображения типа тент и логистического отображения, а обсудим общий случай флуктуирующих локальных по времени ляпуновских показателей. [38]
Подчеркнем, что основным источником этой перемежаемости являются флуктуации локального по времени поперечного ляпунов-ского показателя. В некоторых исключительных случаях, когда эти флуктуации отсутствуют, наблюдаемый режим отличается от модуляционной перемежаемости. Подобным свойством обладает и логистическое отображение / ( С /) 4С7 ( 1 - С /): здесь флуктуации локального по времени ляпуновского показателя при больших Т исчезают. [39]
В работе ( Grebogi, Ott, Yorke, 1983b) впервые отмечено, что такие столкновения приводят к внезапным изменениям хаотического аттрактора. Простым примером служит окно периода 3 логистического отображения ( см. рис. 43), где касательная бифуркация порождает три устойчивые и три неустойчивые неподвижные точки. [40]
Одним из главных результатов предшествующего развития нелинейной динамики, по-видимому, является создание языка, на котором можно описывать многие нелинейные явления. К нему следует отнести новые понятия, вобравшие в себя опыт исследования многих конкретных систем - аттракторы, диссипативные структуры, области притяжения, кризисы, режимы с обострением, параметры порядка, инерциальные формы и другие. Его частью являются базовые математические модели - подкова Смейла, отображение Хенона, система Лоренца, логистическое отображение, уравнение Макей-Гласса и другие замечательные объекты. Зная, как они устроены, можно предполагать, как ведет себя исследуемая система. Особенно важен возникший набор вопросов, которые нелинейная наука советует задавать, исходя из накопленного опыта относительно новых явлений. Постановка компьютерных или натурных экспериментов, исходя из общих представлений, почему это интересно, очень часто оправдывала себя в последние десятилетия. [41]
В этом разделе мы вычислим расстояния между элементами 2 -цикла и определим его спектр мощности. Затем мы покажем, что внешний шум может резко изменять спектр мощности и разрушать вцсшие субгармоники. В заключение обсудим бифуркационную диаграмму при г г № и покажем, что хаотичность поведения итераций логистического отображения при г 4 связана с хаосом треугольного отображения. [42]
Известно, что присущий логистическому отображению тип динамики с переходом к хаосу через удвоения периода и соответствующим устройством пространства параметров встречается в огромном количестве нелинейных диссипативных систем, относящихся к фейгенбаумовскому классу универсальности. Непременным атрибутом закритической области является присутствие окон устойчивости. Выход же из такого окна в одном из двух возможных направлений сопровождается перемежаемостью, как мы видели на примере логистического отображения. Отсюда следует, что перемежаемость должна быть так же распространена в нелинейных диссипативных системах, как и каскад удвоений периода. В качестве примера на рис. 17.8 иллюстрируется перемежаемость, наблюдаемая в системе Ресслера. [43]
Если провести аналогичные рассуждения для А 2, то окажется, что, стартовав от некоторого определенного х, при итерациях в обратном времени можно использовать не все возможные ДЬ-последовательности, а лишь некоторое их подмножество. Причем это подмножество становится все более и более тощим с уменьшением А. В заключение отметим, что два рассмотренных подхода - по Уламу-фон Нейману и на основе итераций в обратном времени - отвечают разным правилам кодирования траекторий логистического отображения последовательностями двух символов. [45]
Страницы: 1 2 3 4