Cтраница 4
Это удивительное поведение объясняет рис. 45, на котором показана третья итерация / r ( v) при г гс. В этом случае существуют три неподвижные точки, которые при г гс становятся неустойчивыми, что приводит к перемежаемости 1-го рода. Необходимо отметить, что обратная касательная бифуркация ( в противоположность бифуркации удвоения, в которой число неподвижных точек удваивается) представляет единственный механизм, при котором в логистическом отображении может появиться нечетное число неподвижных точек. [46]
Как xt, так и yt зависят от предыдущих значений xt t и yt p и это делает систему динамической. Из-за квадратичного члена в первом уравнении система является нелинейной. Если мы возьмем произвольные начальные значения и сгенерируем по этим уравнениям ряд значений для xt и yt, то окажется, что их значения беспорядочно и внешне случайно располагаются, соответственно, в интервалах от - 0.4 до 0.4 и от - 1.4 до 1.4. Так же, как и в рассмотренном ранее случае логистического отображения рис. 3.4, эти значения не сходятся к какому-либо положению равновесия и не совершают периодических колебаний. [47]
Попытки математического описания биологических проблем динамики популяций восходят к Томасу Мальтусу ( 1766 - 1834), автору нашумевшей концепции о том, что численность людей возрастает в геометрической прогрессии, а средства поддержания жизни лишь в арифметической. Поэтому численность населения должна регулироваться войнами, эпидемиями и пр. Марксисты, как известно, заклеймили эту теорию как человеконенавистническую. Rxn, где R - параметр, определяющий условия жизни популяции. Полученное соотношение называют логистическим отображением и оно действительно неплохо описывает, по крайней мере, с качественной стороны, динамику некоторых биологических популяций. [48]
Видимо, когда-нибудь история динамического хаоса будет написана достаточно полно. Оно показало, что даже в простейших детерминированных системах существуют принципиальные ограничения на получение динамического прогноза, т.е. предсказания, в какой точке фазового пространства окажется система через заданный интервал времени. Понимание этого явления, введение новых понятий и концепций оказалось связано с изучением простейших одномерных и двумерных отображений - подковы Смейла, логистического отображения, кусочно-линейного одномерного отображения xt j 1 - 2 xk, отображения Хенона. [49]