Cтраница 1
Однородные линейные отображения являются гомоморфизмами групп. [1]
Однородные линейные отображения как частный случай отображений обладают всеми их свойствами, которые были установлены нами ранее. [2]
Однородные линейные отображения векторного пространства М па себя образуют кольцо относительно заданных выше операций сложения и умножения отображений. [3]
Если однородные линейные отображения рассматривать как функции, то отсюда следует, что все операции, производимые над функциями, применимы и к однородным линейным отображениям. [4]
Рассмотрим теперь однородные линейные отображения с алгебраической точки зрения. [5]
Чтобы задать однородное линейное отображение, попытаемся выяснить, какими параметрами характеризуются векторы. Весьма простое описание допускают векторы на плоскости. Действительно, всякий вектор на плоскости однозначно определяется заданием его конца, если его начало совмещено с началом координат. [6]
Если матрица однородного линейного отображения известна, то, зная координаты исходного вектора, можно найти координаты его образа при отображении. Предполагается, что исходный вектор и однородное линейное отображение заданы в одном и том же базисе. Тогда образ вектора задан во втором базисе однородного линейного отображения. [7]
Пусть AIJ - однородное линейное отображение, переводящее вектор базиса &i в вектор базиса fj, a все остальные векторы заданного базиса векторного пространства М ] - в нулевой вектор. Поскольку образы векторов базиса можно задавать совершенно произвольно, то для любой пары чисел in / мы получаем по одному однородному линейному отображению. [8]
Для этого рассмотрим любое однородное линейное отображение А из этого пространства. Если же сумма отображений j является нулевым отображением О, то любой вектор базиса ер она переводит в нулевой вектор. Следовательно, отображения AIJ линейно зависимы. Как линейно независимая система образующих совокупность однородных линейных отображений А является базисом. [9]
Говоря о сложении однородных линейных отображений А и В, мы подразумеваем, что отображение А В существует. Сумму столбцов мы получим, сложив покомпонентно столбцы-слагаемые. [10]
Наше знакомство с однородными линейными отображениями мы начнем с нескольких примеров, которые рассмотрим в наиболее легко обозримом случае, когда оба векторных пространства Mj и М2 являются плоскостями, а Г - телом вещественных чисел. [11]
Это означает, что любое однородное линейное отображение однозначно определено, если заданы образы векторов базиса. [12]
Нетрудно показать, что такое однородное линейное отображение единственно. [13]
Эти примеры показывают, что однородные линейные отображения можно рассматривать как частный случай наборов, состоящих из нескольких функций многих независимых переменных. Однородные линейные отображения не просто принадлежат множеству функций многих независимых переменных, но и служат в этом множестве своеобразным эталоном, позволяя измерять, насколько изменяется по величине и направлению зависимый вектор, когда независимый вектор изменяется в заданном направлении. Именно поэтому линейным однородным отображениям в математике придают столь большое значение. [14]
Попытаемся теперь выяснить, почему однородным линейным отображениям в математвке придается столь важное значение. По существу однородные линейные отображения представляют собой не что иное, как функции, ставящие в соответствие векторам векторы. Чтобы рассматривать такие функции, необходимо ввести сокращенные обозначения, позволяющие записывать громоздкие выкладки в удобообозримом виде и тем значительно облегчающие их. Если воспользоваться изоморфизмом векторных пространств одинаковой размерности, то произвольное га-мерное векторное пространство можно изоморфно отобразить на векторное пространство наборов из га чисел. [15]