Cтраница 3
Если однородные линейные отображения рассматривать как функции, то отсюда следует, что все операции, производимые над функциями, применимы и к однородным линейным отображениям. [31]
Эти примеры показывают, что однородные линейные отображения можно рассматривать как частный случай наборов, состоящих из нескольких функций многих независимых переменных. Однородные линейные отображения не просто принадлежат множеству функций многих независимых переменных, но и служат в этом множестве своеобразным эталоном, позволяя измерять, насколько изменяется по величине и направлению зависимый вектор, когда независимый вектор изменяется в заданном направлении. Именно поэтому линейным однородным отображениям в математике придают столь большое значение. [32]
Известно, что один из двух законов дистрибутивности может выполняться даже в том случае, если другой закон дистрибутивности утрачивает силу. Для однородных линейных отображений выполняются оба закона дистрибутивности, но доказывать каждый из них необходимо особо, поскольку они выражают различные свойства операций. [33]
Попытаемся теперь выяснить, почему однородным линейным отображениям в математвке придается столь важное значение. По существу однородные линейные отображения представляют собой не что иное, как функции, ставящие в соответствие векторам векторы. Чтобы рассматривать такие функции, необходимо ввести сокращенные обозначения, позволяющие записывать громоздкие выкладки в удобообозримом виде и тем значительно облегчающие их. Если воспользоваться изоморфизмом векторных пространств одинаковой размерности, то произвольное га-мерное векторное пространство можно изоморфно отобразить на векторное пространство наборов из га чисел. [34]
Так как сложение в векторных пространствах ассоциативно, то каждое из отображений А ( В С) и ( А В) С, действуя на любой вектор, иереводит его в один и тот же вектор-образ. Следовательно, однородные линейные отображения А ( В С) и ( А В) С совпадают. [35]
К рассмотрению этих тождеств мы сейчас и приступаем. Поскольку операции над однородными линейными отображениями выполнимы далеко не всегда, необходимо в каждом случае проверять, осуществима ли интересующая нас операция. Мы не будем всякий раз контролировать выполнимость операции, поскольку такая проверка удлинила бы и без того громоздкие выкладки, и рассмотрим лишь случаи, в которых намеченные операции заведомо выполнимы. Умножением однородных линейных отображений на себя мы заниматься не будем, поскольку ранее было доказано, что возведение отображений в степень ассоциативно. [36]
Если матрица однородного линейного отображения известна, то, зная координаты исходного вектора, можно найти координаты его образа при отображении. Предполагается, что исходный вектор и однородное линейное отображение заданы в одном и том же базисе. Тогда образ вектора задан во втором базисе однородного линейного отображения. [37]
Прежде всего необходимо выяснить, что следует знать об отображении для того, чтобы его заведомо можно было отнести к однородным линейным отображениям. Предположим, что А: Mj - М2 - заданное однородное линейное отображение. [38]
Ее определение желательно выбрать так, чтобы матрица произведения двух однородных линейных отображений совпадала с произведением матриц, соответствующих отображениям-сомножителям. [39]
Некоторые линейные преобразования ц л о с - кости. Мы рассмотрим лишь те линейные преобразования, которые были церечислены выше, как примеры однородных линейных отображений. [40]
Следует иметь в виду, что для каждой нары векторных цространств существует свое, только ей ирисущее нулевое отображение О. Введение единого обозначения для различных отображений не ириводит к какой-либо путанице, нескольку в сумму нулевого и любого другого однородного линейного отображения А всегда входит нулевое отображение того векторного цространства Мх, на котором оиределено второе слагаемое А, и это нулевое отображение иереводит векторное иространство Mj в нулевой вектор векторного цространства М2, содержащего образ векторного цространства Mj относительно второго слагаемого суммы преобразований. [41]
Каждому элементу базиса ег поставим в соответствие тот элемент базиса ер в который вектор е переходит под действием рассматриваемой подстановки. Но коль скоро для каждого элемента базиса известен его образ, то тем самым однозначно определено однородное линейное отображение, переводящее векторы el в их образы относительно подстановки. [42]
Естественно задать вопрос: насколько произвольно можно задавать образы базисных векторов. Ответ на этот вопрос гласит: образы элементов базиса можно задавать совершенно произвольно; всегда существует такое однородное линейное отображение, которое переводит векторы исходного базиса в заранее указанные векторы. [43]
Необходимо еще доказать, что отображение - А обладает всеми свойствами однородного линейного отображения. Вместо того чтобы проводить соответствующие выкладки, достаточно ограничиться следующим замечанием: тождества, входящие в oupeделение однородного линейного отображения, выполняются для отображения - А, нескольку получаются из соответствующих тождеств для отображения А цри замене знаков в правой и левой частях на противоположные. [44]
Пусть AIJ - однородное линейное отображение, переводящее вектор базиса &i в вектор базиса fj, a все остальные векторы заданного базиса векторного пространства М ] - в нулевой вектор. Поскольку образы векторов базиса можно задавать совершенно произвольно, то для любой пары чисел in / мы получаем по одному однородному линейному отображению. [45]