Cтраница 1
Билинейное отображение называется также спариванием. [1]
Билинейное отображение t, удовлетворяющее условиям предыдущего предложения, называется гильбертовым тензорным отображением. [2]
Тогда билинейное отображение F: U X V - W однозначно определяется значениями F ( ut, Vj) wi, причем wtj можно задавать произвольно. Это приводит к следующему определению. [3]
Каждое билинейное отображение пар ( х, у) в какое-либо векторное пространство № можно получить следующим образом: сначала нужно из каждой пары ( х, у построить произведение t x у, и затем линейно отобразить пространство двухвалентных тензоров в пространство ЭД. [4]
Для заданного билинейного отображения А X А - С обозначим через В, В его ядра слева и справа. [5]
Для заданного билинейного отображения Л X А - С обозначим через В, В его ядра слева и справа. [6]
Следовательно, билинейное отображение Л, В ь - Л В непрерывно. [7]
Пусть дано билинейное отображение /: А X В - С. Это отображение индуцирует линейное отображение свободного модуля над А X В, которое обозначим /: F - JC. Поэтому / определяет линейное отображение v: F / H - С, Очевидно, / vjj, и нужное свойство проверено. Итак, F / H вместе с i действительно реализует тензорное произведение А В. [8]
Определяем ядро слева билинейного отображения как подпространство в V, ортогональное к V; аналогично определяется ядро справа. [9]
Определяем ядро слева билинейного отображения как подпространство в V, ортогональное к V; аналогично определяется ядро справа. [10]
Предположим, что билинейное отображение р, отвечающее ф, удовлетворяет условию Р ( и, и /) 0 для всех i. [11]
Доказать, что билинейное отображение, непрерывное в точке ( О, О), непрерывно. [12]
Рассмотрим сначала одно билинейное отображение /: ЕХ XF - G. Легко проверяется, что следующие три условия эквивалентны. [13]
Обратно, всякое билинейное отображение ( р: R x R R имеет вид ( р ( х, у ] сху, где с G R - некоторая константа. [14]
N, с билинейными отображениями ( произведениями) Я / хЯ7 - - Я / /, удовлетворяющими на Я / хЯуХЯ обычному условию ассоциативности и такими, что относительно этих произведений группа Я0 является кольцом, а каждая из групп Я, есть Я0 - би-модуль. Отметим для большей точности, что предыдущее определение является определением внешне градуированного кольца. Положим Н иЯ / и отметим, что даже нулевые элементы групп HI являются различными элементами множества Я. [15]