Cтраница 3
А кВ тогда и только тогда, когда существует такое билинейное отображение а прямого произведения А X В в Т, что Ima порождает группу Т и для любой абелевой группы Т и любого билинейного отображения ср: Ау В - Т найдется такой гомоморфизм а е-левых групп г к Т - Т, что aty ср. [31]
А 8я В тогда и только тогда, когда существует такое билинейное отображение а прямого произведения А X В в Т, что Im о порождает группу Т и для любой абелевой группы Т и любого билинейного отображения ф: Л X В - - Г найдется такой гомоморфизм абе-левых групп г з: Т - - Т, что аг) ср. [32]
Поэтому является подалгеброй в том и только в том случае, когда билинейное отображение g нулевое. [33]
Поскольку ( и, v) - и и есть, очевидно, билинейное отображение, существует единственный гомоморфизм f: U V - V U, для которого. Но, аналогично, существует гомоморфизм /: V f) - f / К, для которого / ( v и) и у, и из теоремы 2.1 сразу следует, что / и / - взаимно обратные изоморфизмы. [34]
Непосредственно из определения тензорного произведения вытекает, что указанное там отображение т индуцирует билинейное отображение а множества Ах В в абелеву группу A RB. [35]
Всякое непрерывное билинейное отображение произведения А X В может быть продолжено по непрерывности до непрерывного билинейного отображения Е X F и G ( гл. [36]
Наше отображение ( а, х) - ал; ( mod очевидно, индуцирует билинейное отображение k / a. [37]
Аналогичное различие существует между равностепенной непрерывностью и раздельной равностепенной непрерывностью применительно к некоторому множеству У билинейных отображений. Рассматриваемые нами принципы ограниченности часто связаны с отношением между этими двумя понятиями. [38]
Пусть ( х, у) н - ( Лдг, у) - соответствующее ему билинейное отображение. [39]
Преобразование х, у ] ( Ля) g ( By) является, очевидно, билинейным отображением, заданным на D ( Л) х D ( В) со значениями в Хг Уг. Отображение С, рассматриваемое как функция, действующая из X Y в Xi УХ, называется тензорным произведением отображений А и В и обозначается символом А В. [40]
Пусть ( х, y) i - ( Ах, у) - - соответствующее ему билинейное отображение. [41]
Общая сквозная тема этой главы - обсуждение результатов, утверждающих, что если некоторое множество линейных или билинейных отображений одного или нескольких топологических векторных пространств в другое ограничено в каком-то смысле, то оно будет ограничено в некоем более сильном смысле. Эта ограниченность в более сильном смысле будет часто заключаться в равномерности того или иного рода, не фигурирующей в исходных предпосылках, почему результаты рассматриваемого типа иногда называют принципами равномерной ограниченности. Эти принципы применимы лишь к некоторым категориям топологических векторных пространств. Понятия бочечных и ультрабочечных пространств, введенные в гл. [42]
Нетрудно привести примеры функций ф, не являющихся непрерывно дифференцируемыми, для которых ротор существует и является билинейным отображением. [43]
Определение 1.1 удобно формулировать так: билинейное отображение bj: X X Y - Zlt назовем старшим, чем билинейное отображение Ь2: Х X F - Z2, если из того, что (1.2) выполняется при b bj, вытекает, что оно справедливо также при b bz Билинейное отображение / является тензорным тогда и только тогда, когда оно старше любого другого билинейного отображения. [44]
R-алгебра ( или алгебра над R) - это уни-тальный правый / - модуль А с заданным на нем билинейным отображением АУ ( А - А ( обозначаемым через ( х, r /) i - xy), удовлетворяющим условию ассоциативности ( x ( yz) ( xy) z для всех х, у, z из Л), причем в А имеется элемент 1л со свойством Ах х А х для всех х А. Он называется единичным элементом) алгебры А. [45]