Cтраница 3
Посвящен теории и приложениям перманенте, матричному комбинаторному анализу и сменным проблемам геометрии и выпуклого анализа; завершается разделом Проблемые % включающим ряд известных и новых задач проблемного характера из теории перманентов, по - ставленных зарубежными и советскими исследователями. [31]
Начальные сведения из теории выпуклых множеств излагаются во многи:: книгах по оптимизации и выпуклому анализу. [32]
Качественный анализ и методы построения решающих правил и решающих распределений задач стохастического программирования существенно используют утверждения выпуклого анализа, основанные на теоремах Ляпунова, Каратеодори и Хелли, и принципы оптимальности ( необходимые условия экстремума) задач выпуклого программирования в функциональных пространствах. [33]
В § 20 ( Некоторые приложения теории полиэдральной выпуклости) мы показываем, как многие теоремы выпуклого анализа могут быть усилены в том случае, когда даже не обязательно все, а хотя бы некоторые выпуклые функции являются полиэдральными. Теоремы 20.1 и 20.2 используются в следующем § 21 для сравнительно трудного доказательства усиленного варианта теоремы Хелли и некоторых других результатов, с помощью которых доказывается потом в § 27 и 28 существование множителей Лагранжа и оптимальных решений выпуклых программ. Теорема 20.1 опирается на § 9, а теорема 20.2 - нет. [34]
Лишь одна, первая, теорема из § 10 ( Непрерывность выпуклых функций) является важной для выпуклого анализа в целом. Любопытные теоремы о непрерывности и сходимости в основном интересны лишь сами по себе. Они применяются лишь в § 25 и 26 при выводе теорем непрерывности и сходимости субдифференциалов и градиентных отображений выпуклых функций, а также в § 35 при выводе подобных теорем для седловых функций. [35]
Книга американского математика Р. Т. Рокафеллара, чей личный вклад в новую дисциплину весьма значителен - первая монография, посвященная выпуклому анализу. Большими ее достоинствами являются широта охвата материала и простота изложения. Автор изучает выпуклые множества и функции в простейшем случае конечномерных пространств. Книга доступна начинающему: для ее понимания вполне достаточно знать начала линейной алгебры. [36]
Чтобы высказать основной результат - статистический критерий для проверки (1.1) - нам понадобятся некоторые понятия, относящиеся к выпуклому анализу. [37]
В данном параграфе, в отличие от [0.9], при исследовании вопросов преобразования экстремальных задач использованы некоторые результаты из выпуклого анализа, которые помогают глубже понять суть дела и дают достаточные условия применимости описанных процедур. [38]
Благодаря полученному результату становится ясным то, что существование и конечность множества опорных точек, утверждаемые теоремой 1.1, суть частные проявления общих фактов выпуклого анализа. В самом деле, согласно теореме 2.7 гл. [39]
Двойственность между точками и гиперплоскостями играет весьма важную роль во многих разделах анализа и геометрии, но, пожалуй, нигде она не играет роли столь замечательной, как в выпуклом анализе. Основой теории двойственности выпуклых множеств является тот факт, что замкнутое выпуклое множество есть пересечение замкнутых полупространств, его содержащих. В переводе на язык функций этот факт звучит так: выпуклая замкнутая функция есть поточечная верхняя грань аффинных функций, ее не превосходящих. Равносильность этих фактов сразу следует из рассмотрения надграфиков, и оба они очень важны, хотя первый; интуитивно очевиднее. Вторая формулировка, касающаяся функций, имеет то преимущество, что она непосредственно приводит к понятию двойственности между замкнутыми функциями, а именно-двойственности по Фенхелю. [40]
Книга написана не с узкими целями ( для экономистов или инженеров) и не в расчете на какую-нибудь одну группу специалистов-математиков; она предназначена для широкой аудитории, ибо, несомненно, выпуклый анализ - это раздел, изучить который целесообразно математикам самых различных направлений, и классических и прикладных, и обязательно тем, чьи исследования связаны с экстремальными задачами. [41]
В настоящем пособии, написанном по материалам специальных курсов, читавшихся авторами студентам старших курсов факультета вычислительной математики и кибернетики, специализирующимся в области численных методов решения задач математической физики, дается изложение основных методов современного выпуклого анализа и теории монотонных операторов, ориентированное на последующее применение к численному решению нелинейных задач теории упругости и фильтрации. Описанию этих приложений будет посвящено отдельное пособие. [42]
Работы подразделяются на несколько циклов: теория представлений груш Ли; интегрируемые системы и их связи с бесконечномерными группами и алгебрами Ли; теория представлений симметрических групп; дискретные группы; операторные алгебры; комбинаторика и выпуклый анализ. [43]
Доказательство этого факта приведено в разд. В выпуклом анализе он известен как теорема Каратеодори. [44]
Модель рынка с ограничениями на цены. Качественные методы выпуклого анализа и теории оптимизации находят эффективное применение при изучении экономико-математических моделей. Дадим ( несколько упрощенное) описание этой модели. [45]