Cтраница 3
Задачи восстановления дискретизировашшх сигналов в общем случае аналогичны задачам интерполирования функций. [31]
Заметим, что задача построения эмпирической формулы отлична от задачи интерполирования ( гл. [32]
Задача построения такой функции ф ( л) есть задача интерполирования. [33]
Заметим, что задача построения эмпирической формулы отлична от задачи интерполирования ( гл. [34]
Заметим, что задача построения эмпирической формулы отлична от задачи интерполирования ( гл. При нахождении эмпирической формулы не требуется, чтобы значения f ( Xj) совпадали с У, достаточно, чтобы разность f ( x) - f ( Xj) была мала в известном смысле в данной области. Следует иметь в виду х также, что сами исходные эмпирические данные дг ( - и г / -, как правило, являются приближенными и содержат ошибки. [35]
Чисто теоретическая задача аналитического выражения любой статистической кривой, как всякая задача интерполирования, всегда может быть решена, и притом бесчисленным множеством способов; в частности, благодаря более или менее значительным отклонениям от теоретической кривой, которые теория вероятностей разрешает статистическому распределению, мы имеем полную возможность, даже располагая небольшим числом произвольных параметров, получить удовлетворительную теоретическую кривую. Практика показывает, что в большинстве случаев этого можно достигнуть, применяя кривые Пирсона, зависящие от 4 параметров; но теоретически, в смысле соответствующей схемы теории вероятностей, эти кривые обоснованы лишь в случае небольшого уклонения от нормальной кривой. Поэтому интересно было бы найти причину этого соответствия в тех случаях, где оно действительно имеет место при большом числе наблюдений. [36]
Как в первом, так и во втором случае, возникает задача интерполирования. [37]
В § 1 отмечалось, что задача построения эмпирической формулы отличается от задачи интерполирования. График эмпирической зависимости, вообще говоря, не проходит через заданные точки ( xi yi), как в случае интерполяции. Это приводит к тому, что экспериментальные данные в некоторой степени сглаживаются, в то время как интерполяционная формула повторила бы все ошибки, имеющиеся в экспериментальных данных. [38]
В § 1 отмечалось, что задача построения эмпирической формулы отличается от задачи интерполирования. График эмпирической зависимости, вообще говоря, на проходит через заданные точки ( х (, г /), как в случае интерполяции. Это приводит к тому, что экспериментальные данные в некоторой степени сглаживаются, а интерполяционная формула повторила бы все ошибки, имеющиеся в экспериментальных данных. [39]
Доказано ( см. [1], [11], [58]), что в указанной постановке задача интерполирования всегда имеет единственное решение. Интерполяционные формулы обычно используются при нахождении неизвестных значений / ( х) для промежуточных значений аргумента. [40]
Одна из первых задач, возникающих при использовании н даже при составлении таблиц - это задача интерполирования; и но мере того, как повышается точность вычислений, в XVII веке замечают, что античный способ линейной интерполяции теряет свою ценность, как только первые разности ( разности между последовательными значениями, фигурирующими в таблицах) заметно отклоняются от постоянных; так, например, у Бригга) мы находим употребление разностей высших порядков, и даже довольно высоких, при вычислении логарифмов. Лозже Ньютон ( ( XlXd) и ( XX), книга III, лемма 5)) и Грегори ( ( XVII bis), стр. Ньютона, а с другой стороны, к биномиальному ряду ( ( XVII bis), стр. Ньютона с открытием основ исчисления бесконечно малых. У Грегори, как и у Ньютона, чувствуется большой интерес к практическим вычислениям, к составлению н использованию таблиц, к вычислению рядов н интегралов; в частности, хотя мы не находим у них ни одного строгого доказательства сходимости вроде вышеуказанного доказательства лорда Сроуикера, оба они постоянно упоминают о сходимости своих рядов с точки зрения их практической пригодности к вычислениям. [41]
При такой интерпретации задача аппроксимирования функции с помощью заданной совокупности функций - например, с помощью степенных функций в задачах полиномиального интерполирования - также представляется в новом свете. Заданная совокупность функций представляет совокупность векторов, которую можно понимать как заданную систему отсчета в нашем воображаемом пространстве. Если число аппроксимирующих функций конечно, то это на самом деле только частичная система, так как число измерений бесконечно возрастает. Задачу аппроксимирования функции в виде линейной комбинации заданных функций и ( - ( х) следует понимать теперь как геометрическую задачу разложения вектора по Заданным координатным осям. [42]
При такой интерпретации задача аппроксимирования функции с помощью заданной совокупности функций - например, с помощью степенных функций в задачах полиномиального интерполирования - также представляется в новом свете. Заданная совокупность функций представляет совокупность векторов, которую можно понимать как заданную систему отсчета в нашем воображаемом пространстве. Если число аппроксимирующих функций конечно, то это на самом деле только частичная система, так как число измерений бесконечно возрастает. Задачу аппроксимирования функции в виде линейной комбинации заданных функций ui ( x) следует понимать теперь как геометрическую задачу разложения вектора по заданным координатным осям. [43]
Таким образом, отыскание оптимального управления Un U ( n, Xrt) сводится к многократному решению системы разностных уравнений (6.173) и задаче интерполирования. [44]
Задача о распространении функции f ( x), заданной лишь в ряде точек, на весь отрезок [ а, Ь ] называется задачей интерполирования. [45]