Cтраница 3
Неожиданно находят очевидное объяснение и многие математические свойства кривых Пеано. [31]
Заполняющие плоскость речные деревья, получаемые из некоторых кривых Пеано, могут быть получены и с помощью прямого рекурсивного построения. Ключом здесь служит генератор, который сам имеет древовидную форму. [32]
Можно легко убедиться, что дерево рек этой кривой Пеано совпадает с деревом, которое мы только что получили с помощью прямого построения. Длина стороны инициатора равна 1, а площадь, заполняемая соответствующей кривой Пеано, составляет л / 3 / 6 - 0, 2886 ( очень неэффективно. [33]
Введем некоторые обозначения, удобные при изучении свойств кривой Пеано. [34]
Между этими крайностями существует еще один весьма интересный класс кривых Пеано. [35]
Например, проекция элементарной кривой на плоскость может оказаться кривой Пеано и, следовательно, может покрыть квадрат. [36]
Кроме того, в главе 25 с помощью рандомизации всех кривых Пеано с данными N г мы получим самое что ни на есть броуновское движение. [37]
Рандомизация такого построения происходит так же, как и преобразование кривой Пеано в броуновское движение. Направление смещения полагаем случайным и изотропным, вне зависимости от того, каким оно было на предыдущем этапе; распределение длины смещения полагаем гауссовым, а вышеприведенную формулу применяем к среднеквадрати-ческому смещению. При этом мы не предпринимаем ничего для предотвращения самопересечений, и предельная фрактальная кривая просто изобилует ими. [38]
Не зная о нисходящих каскадах, ответственных за построение наших конечных кривых Пеано, можно только изумиться тому необычайному дальнему порядку, который позволяет этим кривым избегать не только самопересечений, но и самокасаний. Что касается последнего, то весь порядок вообще держится только на жесточайшей дисциплине: малейшее послабление - и все насмарку. [39]
Заполняющая плоскость кривая Пеано, представленная на этом рисунке, является оригинальной кривой Пеано. [40]
Из полученного результата и из теоремы 6 введения к этой главе следует, что кривая Пеано не спрямляема. [41]
Теперь рассмотрим другую кривую Коха вместе с тремя кривыми, заполняющими ее: одной кривой Пеано и двумя деревьями. Эти придуманные мною фигуры иллюстрируют еще одну весьма интересную тему. [42]
При D - 2 береговая линия этого острова стремится к кривой Пеано-Пойа, одной из кривых Пеано, рассматриваемых в следующей главе. [43]
Особый интерес представляют контактные кластеры, заполняющие плоскость, в частности, кластеры, образуемые некоторыми кривыми Пеано, терагоны которых не имеют точек самопересечения, но имеют несколько тщательно контролируемых точек самокасания. В саге о приручении чудовищ Пеано появляется, таким образом, новая глава. [44]
Вывод: единственной мерой множества точек, образующих поверхность в трехмерном пространстве является площадь, однако монстры, подобные кривой Пеано, снежинке Кох и другие, требуют обобщить меру величины множества точек. [45]