Cтраница 1
Задача математической физики считается поставленной корректно, если добавочные условия, начальные и краевые, обеспечивают: 1) существование решения, 2) его единственность, 3) непрерывную зависимость от данных задачи и параметров. С точки зрения этого определения корректные постановки в гидродинамике составляют небольшой класс задач, относящихся главным образом к течениям с малыми числами Рейполъдса, когда нелинейность уравнений (1.1) не проявляется. С ростом числа Рейнольдса включается действие нелинейности и начинают проявляться свойства, несовместимые с определением корректности. Так, для нелинейных уравнений хорошо известно свойство непродолжимости решения в области значений аргумента, превышающих некоторый предел. Поэтому для нестационарных задач решение за конечный промежуток времени может перестать существовать, потерять регуляторность или единственность. [1]
Задачи математической физики разделяются на два самостоятельных класса. Первый из них связан с исследованием стационарных процессов, второй изучает нестационарные процессы. [2]
Задача математической физики называется корректно поставленной по Адамару, если решение задачи существует; задача имеет единственное решение; решение задачи непрерывно зависит от исходных данных. [3]
Задачи математической физики, которые приходится решать на практике, помимо дифференциального уравнения включают дополнительные условия - краевые и начальные, которые обеспечивают выделение единственного решения из всей совокупности возможных решений. Следовательно, кроме аппроксимации дифференциального уравнения необходимо еще описывать в разностном виде эти дополнительные условия. [4]
Задачи математической физики формулируются в виде основного дифференциального уравнения и дополнительных ( начальных, граничных) условий, обеспечивающих существование и единственность решения. Типичными примерами являются: задача Дирихле для уравнения Лапласа, задача Коши и смешанные задачи для уравнений параболического и гиперболического типов. Под разностной схемой понимают совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное уравнение и дополнительные условия исходной дифференциальной задачи. Существуют различные способы построения разностных схем. В этом параграфе будет рассмотрен один из способов, носящий название интегро-интерполяционного метода ( или метода баланса) построения разностных схем. [5]
Задачи математической физики, сводящиеся к задаче Римана. [6]
Задача математической физики считается поставленной корректно, если решение задачи, удовлетворяющее требуемым условиям, существует, единственно и устойчиво. Последнее свойство означает, что малые изменения заданных в задаче функций должны приводить к малым изменениям решения. [7]
Задачи математической физики, сводящиеся к задаче Римана, Тр. [8]
Задачи математической физики, допускающие вариационную постановку, позволяют максимально ослабить математические ограничения, накладываемые на разыскиваемое решение, а также строить априори устойчивые разностные схемы для их численной реализации. Вариационное исчисление лежит у истоков теории оптимального управления и оптимального проектирования конструкций. Поэтому так велика популярность вариационных методов в механике, физике и инженерных расчетах. Математические результаты, полученные в этом направлении, быстро принимаются на вооружение прикладниками. [9]
Многие задачи математической физики приводят к цилидрическим функциям полуцелого порядка. [10]
Многие задачи математической физики приводят к положительно определенным матрицам с небольшим числом ненулевых элементов, расположенных в разных местах матрицы. Последнее имеет место при переходе от дифференциальных уравнений в частных производных к разностным. Если исходная матрица является редкой, а функции от переменных i и / достаточно просты, то процедура eg, основанная на методе сопряженного градиента, может оказаться весьма эффективным алгоритмом для решения таких систем уравнений. [11]
Многие задачи математической физики могут быть переформулированы как вариационные задачи, представляющие собой один из подходов к введению обобщенных постановок исходных краевых задач. Рассмотрим этот подход к исследованию обобщенных постановок задач, известный еще как энергетический метод. [12]
Многие задачи математической физики сводятся к интегральным уравнениям с вещественным эрмитовым ядром. Для этих интегральных уравнений справедливы утверждения, сформулированные ранее для уравнений с эрмитовым ядром. [13]
Многие задачи математической физики приводят к так называемым задачам на собственные значения, которые представляют собой линейные однородные уравнения с параметром. [14]
Многие задачи математической физики приводят к так называемым задачам на собственные значения, которые, как правило, представляют собой однородные уравнения с параметром. Значения параметра, при которых уравнение имеет ненулевые решения, называются собственными значениями, а соответствующие решения - собственными функциями. [15]