Cтраница 4
Всякая редукция задач математической физики или техники в конечном итоге обычно сводится к алгебраическим уравнениям той или иной структуры. Поэтому предмет вычислительной математики, как правило, связан с методами сведения задач к системам алгебраических уравнений и их последующему решению. [46]
При решении задач математической физики численными методами важную роль играет корректность постановки исследуемой задачи. Понятие корректности было введено Адамаром. Известно большое число классических задач математической физики, поставленных корректно по Адамару. В связи с более глубоким изучением различных задач естествознания и техники возникла проблема решения так называемых условно корректных задач. Сущность этих требований состоит в том, что в условия постановки задачи добавляется априорное предположение о существовании решения и принадлежности его заданному компакту. Для установления условной корректности необходимо доказать теорему единственности. [47]
Для решения задач математической физики, и в частности задач МДТТ, в таких областях в последнее время предложены методы разбиения на подструктуры, в частности метод блоков. [48]
При постановке задач математической физики нужно учитывать еще один важный факт. Он состоит в следующем. Все известные функции, входящие в уравнение, а также в начальные и граничные условия, определяются из опыта и поэтому не могут быть найдены совершенно точно. Всегда неизбежна некоторая погрешность в начальных и граничных условиях. [49]
Обычно в задачах математической физики функция U, кроме уравнения ( 1), должна подчиняться некоторому предельному условию. Начальные условия в данном случае, конечно, отсутствуют. Основной предельной задачей для уравнения ( 1) является следующая задача: определить функцию, гармоническую в области ( D), если заданы ее значения на поверхности ( S) этой области. Задача эта называется обычно задачей Дирихле. Эта заданная на ( S) функция должна быть, конечно, непрерывной. Заметим, что область ( D) может быть как конечной, так и бесконечной. [50]