Cтраница 1
Нестандартный анализ создан был Робинсоном [ 1961 а, 1966 ] и разрабатывался в последующие годы разными исследователями в качестве нового подхода к анализу. [1]
Нестандартный анализ позволяет дать естественные определения предельной точки и предела. [2]
Идея нестандартного анализа проста. Оригинальная формулировка этой аксиомы: каковы бы ни были два отрезка, можно отложить меньший из них столько раз, чтобы превзойти больший. [3]
Использование нестандартного анализа и родственных ему математических построений оказывается эффективным для отображения качественной информации, характеризующей границы научных абстракций в теории электрических цепей. При этом исходная информация о том, что, например, некоторые параметры схемы или режима цепи существенно больше или существенно меньше других аналогичных параметров, естественным образом переносится в математическую модель. В последней бесконечные числа характеризуют качественное различие параметров, что соответствует интуитивным представлениям о бесконечном и, следовательно, исключает логические трудности при последующем проведении мысленных экспериментов. [4]
В нестандартном анализе внешний значит не внутренний. В статистической механике понятие внешний определено по отношению к дополнению данного множества Л; в этом смысле внешняя конфигурация вполне может оказаться внутренней как объект нестандартного анализа. [5]
Редкая лекция по нестандартному анализу обходится без того чтобы не возник вопрос о фейнмановских интегралах по траекториям. [6]
Эта книга посвящена прикладному нестандартному анализу. Она делится на две части. Основной курс ( см. прилагаемую диаграмму) включает анализ, топологию и линейные пространства, а также теорию вероятностей и представляет собой законченное и замкнутое введение в нестандартные методы. [7]
Наша книга посвящена прикладному нестандартному анализу, и мы не ставили себе задачу изложения всей истории бесконечно малых и нестандартного анализа. Но два имени должны быть упомянуты. [8]
Некоторые видят в нестандартном анализе подтверждение справедливости лейбницевского исчисления бесконечно малых. Эти теории действительно кое в чем похожи. Но нужно быть очень осторожным, утверждая, что новые достижения доказывают правильность более старых идей. [9]
Можно заметить, что нестандартный анализ позволяет удобно согласно инженерной интуиции описать количественные отношения в предельных случаях. Это достигается ценой формального введения искусственных элементов - бесконечно малых и бесконечно больших чисел, что делает аппарат нестандартного анализа не вполне конструктивным. Поэтому в ряде случаев для описания подобных отношений целесообразно привлекать более конструктивные математические построения и, в частности, аппарат [14], называемый в дальнейшем рабочей математикой. В рабочей математике бесконечные элементы исключаются из рассмотрения, в то время как техника ее применения оказывается близкой к технике нестандартного анализа. Исключение бесконечных элементов достигается за счет фиксации некоторого очень большого числа со. Формально это достигается за счет того, что при сложении предельного числа со. Аналогичным образом исключаются из рассмотрения и очень малые числа, например меньше 1 / со. [10]
О преобразовании Фурье в нестандартном анализе. [11]
Означает ли это, что в нестандартном анализе не надо заботиться о порядке, в котором берутся повторные пределы. Вовсе нет, как это видно из обсуждения в § 1.3. В нашей модели, однако, об этом в самом деле не приходится заботиться в силу свойств строгой монотонности соответствующих функций Швингера. [12]
Рассмотрим интерпретацию функций таких источников в нестандартном анализе. [13]
Рассмотренный в настоящей главе материал показывает, что нестандартный анализ позволяет строго обосновать сложившиеся в инженерной практике подходы к моделированию цепей, описание которых носит частично качественный характер, и формально строить алгоритмы их расчета. Нестандартный анализ отличается лаконичностью языка и отражает в математической форме интуитивные представления исследователей о подобном классе цепей. Поэтому представляется перспективным его широкое использование в теоретической электротехнике. [14]
Рассмотрим второй подход для описания коммутационных явлений с помощью нестандартного анализа, когда нестандартные модели накопительных элементов непосредственно не используются. Такое допущение правомерно, так как в реальных электрических цепях эти элементы заведомо не идеальны. В созданных моделях активно-индуктивных и активно-емкостных цепей гарантируется непрерывность изменения напряжений на емкостных элементах ( токов через индуктивные элементы), а следовательно, и соответствующих энергий. Расчет же переменных состояния может быть проведен любым традиционным способом. Основным является то, что исследователь не связан с конкретным выбором параметров ключей, а учитывает в моделях лишь тот факт, что эти параметры - величины существенно ( пренебрежимо) малые, хотя и не нулевые. [15]