Cтраница 3
В этом смысле нестандартный анализ и в самом деле не дает ничего нового - за исключением новой точки зрения, всегда сопутствующей новому удачному языку. Однако, как показывает опыт, психологическое преимущество, которое новые методы дают владеющему ими математику, часто превращается в первоначальный импульс, который может оказаться достаточно сильным для получения вполне содержательных результатов. А в ряде ситуаций ( например, в теории уток - см. § 1.5) сама постановка задач выглядит намного более естественно именно на нестандартном языке. [31]
Рассматриваются проблемы создания математических моделей цепей, исходное описание которых отчасти носит качественный характер. Отмечается перспективность использования для этой цели нестандартного анализа. Вводятся нестандартные модели электрических цепей, с использованием которых решается целый ряд некорректных задач. [32]
Основная цель показать, какой смысл придается понятию числа в современной математике. Изложены основные понятия / j - адического и нестандартного анализа, объяснено, что такое кватернионы и числа Кэли. Изложение подводит читателя к понятию алгебр фон Неймана, а также к идее суперматематики исчисления антикомму тирующих переменных. [33]
Диапазон этого поиска был необычайно широк: от нестандартного анализа до ультраинтуиционизма А. С. Есенина-Вольпина, от теории множеств NF Куайна до метода форсинга в классической теории множеств ZF. Уникально было то, что за первые восемь лет своей деятельности он ни разу не повторил даже тематики своего специального курса, находя каждый год новые направления, в которые он углублялся в ходе чтения курса вместе со своими слушателями. И многие из слушателей его первых курсов так на всю свою научную жизнь и остались работать в одном из тех направлений, которые открывал молодым логикам Альберт Григорьевич. [34]
Если все поля Kf совпадают с полем вещественных чисел, то их ультрапроизведение имеет аналитические приложения. Оно лежит в основе, так называемого, нестандартного анализа, который, например, дает возможность в некоторых вопросах теории дифференциальных уравнений избегать трудных оценок и обоснований сходимости. [35]
Соответствие между этими двумя подходами достигается в классическом анализе при помощи канторовско-го понятия континуума. Отметим, что интуиционистский анализ, конструктивный анализ и нестандартный анализ, по существу, не находят еще приложений в физике из-за отсутствия подходящих геометрических представлений, хотя в идейном отношении эти концепции близки к образу мыслей прикладной математики. Переход от поля в физическом смысле к математическому полю происходит при помощи понятия функции области - и процесса локализации. Находится плотность поля / lim ( A / 7AD) при условии, что область v стягивается в точку. Обратно, F находится как интеграл от fdv по соответствующей области. Плотность f, которая здесь возникает, может быть величиной скалярной, векторной, тензорной или иметь иную, более сложную природу. [36]
Одна особенность этой книги, резко отличающая ее от всех книг, посвященных данной теме, должна, как мы надеемся, вызвать особый интерес читателей. Вся монография написана на языке ( и с точки зрения) так называемого нестандартного анализа. Нестандартный анализ - это теория, позволяющая строго и математически корректно пользоваться бесконечно большими и бесконечно малыми числами. Идея бесконечно малых, впервые в сравнительно четком виде встречающаяся у Лейбница, интуитивно очень проста и всегда использовалась физиками и инженерами. [37]
Доказательство Громова очень геометрично и использует понятие предела последовательности метрических пространств. Как показали Дрис и Уилки [61], это доказательство превосходно излагается также на языке нестандартного анализа. При этом удается получить некоторое усиление теоремы Громова. Работа [61] - это редкий пока пример содержательного применения методов нестандартного анализа в алгебре. [38]
Можно заметить, что нестандартный анализ позволяет удобно согласно инженерной интуиции описать количественные отношения в предельных случаях. Это достигается ценой формального введения искусственных элементов - бесконечно малых и бесконечно больших чисел, что делает аппарат нестандартного анализа не вполне конструктивным. Поэтому в ряде случаев для описания подобных отношений целесообразно привлекать более конструктивные математические построения и, в частности, аппарат [14], называемый в дальнейшем рабочей математикой. В рабочей математике бесконечные элементы исключаются из рассмотрения, в то время как техника ее применения оказывается близкой к технике нестандартного анализа. Исключение бесконечных элементов достигается за счет фиксации некоторого очень большого числа со. Формально это достигается за счет того, что при сложении предельного числа со. Аналогичным образом исключаются из рассмотрения и очень малые числа, например меньше 1 / со. [39]
Первые глобальные по времени теоремы существования в далеких от равновесия состояниях были получены в работах Arkeryd [3, 7] с помощью нестандартного анализа. [40]
В нестандартном анализе внешний значит не внутренний. В статистической механике понятие внешний определено по отношению к дополнению данного множества Л; в этом смысле внешняя конфигурация вполне может оказаться внутренней как объект нестандартного анализа. [41]
Одна особенность этой книги, резко отличающая ее от всех книг, посвященных данной теме, должна, как мы надеемся, вызвать особый интерес читателей. Вся монография написана на языке ( и с точки зрения) так называемого нестандартного анализа. Нестандартный анализ - это теория, позволяющая строго и математически корректно пользоваться бесконечно большими и бесконечно малыми числами. Идея бесконечно малых, впервые в сравнительно четком виде встречающаяся у Лейбница, интуитивно очень проста и всегда использовалась физиками и инженерами. [42]
Если мы сделаем это и добавим некие свидетельства, позволяющие отличать друг от друга по-разному сходящиеся последовательности, мы придем к более богатому множеству точек на прямой. А если мы к тому же еще будем интересоваться асимптотическим поведением последовательностей, мы неизбежно придем к понятию гипердействительного числа, или нестандартного действительного числа, во всей его полноте. Нестандартный анализ утверждает, что геометрическая прямая может нести на себе это более богатое множество. [43]
Таким образом, непериодическая функция в рабочей математике может быть представлена суммами конечного числа гармоник. При использовании нестандартного анализа получают аналогичные формулы для f ( t) и F ( / co) с той лишь разницей, что в них Q и Т - бесконечно большие числа, a AGO и h - - бесконечно малые. [44]
Ароншайн и Смит ( N. Бернштейн и Робинсон ( A. R. Bernstein, A. Доказательство Бернштейна и Робинсона использует нестандартный анализ. [45]