Cтраница 3
Пусть теперь нам дана некоторая алгебраическая группа О автоморфизмов пространства V. Мы сопоставим ей некоторую группу автоморфизмов пространства VL. [31]
Если Н - алгебраическая подгруппа алгебраической группы О автоморфизмов пространства V, то дифференциал тождественного отображения группы Н в G является, очевидно, тождественным отображением алгебры Ли группы Н в алгебру Ли группы О. Из этого замечания ц из предложения 3 вытекает, что если р-рациональное представление группы О, то ограничение дифференциала dp на алгебру Ли группы Н является дифференциалом ограничения р на группу Я. [32]
Предложение 6, Пусть О - алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, и пусть g - - алгебра Ли группы О. [33]
G ( X) - наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, алгебра Ли которой содержит эндоморфизм X. [34]
Обозначим через GL ( V) группу всех автоморфизмов пространства V, а через J - тождественное отображение группы GL ( V) в себя. Тр представления Р - это Jp P, где Jp есть р-я тензорная степень представления У. [35]
Пусть G ( X) - наименьшая алгебраическая группа автоморфизмов пространства V, алгебра Ли которой содержит X. Так как алгебра Ли группы G ( X) содержится в оболочке этой группы ( предложение 6 § 8), то отсюда вытекает, что каждая реплика X эндоморфизма X представима в виде полинома F ( X) от X с коэффициентами из К. Но тогда / и, следовательно, полином F ( X) представимы в виде полиномов от X с постоянным членом, равным нулю. Предположим теперь, что эндоморфизм X не обратим. [36]
Следовательно, существует группа линейных вещественных преобразований, являющаяся группой автоморфизмов пространства Минковского, зависящая от 10 произвольных параметров; она включает 3 лоренцевых вращения, 3 пространственных вращения и 4 сдвига по осям. При этом мы отвлекаемся от зеркальных отображений вида ха - ха, которые также оставляют (11.7) инвариантной и увеличивают число различных преобразований ( [216], стр. [37]
Следовательно, существует группа линейных вещественных преобразований, являющаяся группой автоморфизмов пространства Минковского, зависящая от 10 произвольных параметров; она включает 3 лоренцевых вращения, 3 пространственных вращения и 4 сдвига по осям. При этом мы отвлекаемся от зеркальных отображений вида х0 - - ха, которые также оставляют (11.7) инвариантной и увеличивают число различных преобразований ( [188], стр. [38]
Комментируя свою статью Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространств Лебега ( для неспециалистов название выглядит прямо-таки устрашающе - понятно только первое слово), Андрей Николаевич отмечает, что эта работа содержит некоторые применения математического аппарата теории информации к теории динамических систем. [39]
Пусть Р - отличный от О полуинвариант некоторой группы G автоморфизмов пространства V, и пусть р - вес этого полуинварианта. Функция р является тогда ограничением на G некоторой полиномиальной функции. [40]
Заметим, что при Р 0 это отображение не является автоморфизмом пространства Rn (2.67): оно не оставляет на месте начало координат. [41]
Поле 91 ( G) рациональных функций на неприводимой алгебраической группе G автоморфизмов пространства V является всегда сепарабельным расширением поля К. [42]
Для этого фиксируем в пространстве V базис и поставим в соответствие каждому автоморфизму пространства V его матрицу в отмеченном базисе. [43]
Но, как известно, оболочка группы Н порождается алгеброй I) и тождественным автоморфизмом пространства, на котором действует группа G ( том II, следствие 2 теоремы 8 из § 12 гл. [44]
Всякая алгебраическая группа является, очевидно, замкнутой подгруппой группы GL ( V) всех автоморфизмов пространства V. Отсюда вытекает, что Gx - замкнутая подгруппа группы G и что всякий класс группы G по подгруппе G1 замкнут в G. Так как Gx - подгруппа конечного индекса, то она является дополнением в G объединения конечного числа замкнутых множеств. [45]