Cтраница 1
Радикальная плоскость двух шаров. [1]
Радикальная плоскость М шара S и точки II, рассматриваемой как шар, проходит через радикальную ось данных окружностей, так как каждая точка последней имеет относительно этих двух шаров одну и ту же степень. Нетрудно доказать, что линия пересечения шара S2 с плоскостью окружности Сг совпадает с этой окружностью ( ср. [2]
Если радикальная плоскость шаров S т S совпадает с радикальной плоскостью шаров 5 и S, то она будет также радикальной плоскостью шаров S и S, потому что все точки этой плоскости будут иметь одну и ту же степень относительно всех трех шаров. [3]
Шесть радикальных плоскостей четырех шаров, взятых попарно ( или четыре радикальные оси четырех шаров, взятых по три), пересекаются в одной точке ( называемой радикальным центром четырех шаров), кроме того случая, когда центры четырех шаров лежат в одной плоскости и все радикальные плоскости параллельны одной и той же прямой. [4]
Эта плоскость называется радикальной плоскостью двух рассматриваемых шаров. [5]
Действительно, если три радикальные плоскости шаров 5 и S1, S и S, S и S пересекаются в одной точке /, то эта точка имеет одну и ту же степень относительно всех четырех шаров S, S, S, S и, следовательно, лежит и в остальных радикальных плоскостях. [6]
Так как каждая точка радикальной плоскости двух шаров имеет относительно обоих шаров равные степени, то касательные к обоим шарам, проведенные из какой-либо точки радикальной плоскости, внешней по отношению к данным шарам, между собой равны. Отсюда и следует, что отрезок любой общей касательной к двум тарам, заключенный между точками касания, делится радикальной плоскостью пополам. [7]
Если прямая АВ пересекает радикальную плоскость шаров 5 и S в точке /, то отрезок касательной из точки / к шару 5 и к любому из шаров, проходящих через точки А и В, есть среднее пропорциональное между отрезками IА и IB. Если же прямая АВ параллельна радикальной плоскости шаров 5 и S1, то искомое геометрическое место есть окружность, по которой шар 5 пересекает плоскость, перпендикулярную к отрезку АВ и проходящую через его середину. [8]
Две антигомологические хорды пересекаются в радикальной плоскости. [9]
Поэтому точка Р лежит в радикальной плоскости шаров 5 и S и, значит, имеет ту же степень р и относительно любого шара S, имеющего с 5 и 5 общую радикальную плоскость. Следовательно, шар S преобразуется инверсией / сам в себя и потому ( если он пересекает один из шаров 20 и 2) пересекает шары 20 и 2 под строго равными ( под строго пополнительными) углами. [10]
Если тары трех инверсий имеют общую радикальную плоскость, то всякий шар, который преобразуется в себя двумя из трех инверсий, будет преобразовываться в себя и третьей инверсией; обратно, если последнее свойство имеет место, то шары трех инверсий имеют общую радикальную плоскость. В самом деле, всякий шар, который преобразуется в себя двумя из данных инверсий, будет ортогонален к двум шарам инверсии; следовательно, он будет ортогонален и к третьему шару инверсии, имеющему с двумя первыми общую радикальную плоскость. [11]
Шары, обратные шарам, имеющим общую радикальную плоскость, также имеют общ ю радикальную плоскость; шары, обратные шарам, имеющим общую радикальную ось, также имеют общую радикальную ось. [12]
Действительно, шары S, имеющие общую радикальную плоскость, можно охарактеризовать как шары, ортогональные к трем данным шарам S1, S и S с центрами в этой радикальной плоскости. При этом последние три шара надо выбрать так, чтобы их центры не лежали на одной прямой, иначе говоря, так, чтобы не всякий шар, ортогональный к двум из них, был ортогонален к третьему. [13]
Рассмотрим линию пересечения D секущей плоскости с радикальной плоскостью данных шаров. Любая точка А этой прямой имеет относительно всех окружностей, получающихся в сечении, одну и ту же степень, равную степени точи А относительно данных шаров. [14]
Эти три биссектральных шара санных mapos не имеют общей радикальной плоскости. [15]