Cтраница 3
Пусть далее оси данных окружностей лежат в одной плоскости, но не совпадают, и шесть радикальных плоскостей четырех шаров Sj, S2, S % и 4 взятых попарно, проходят через одну прямую D. Прямая D будет общей радикальной осью четырех шаров; она совпадает с линией пересечения плоскостей данных окружностей, если последние не лежат в одной плоскости, и с радикальной осью данных окружностей, если последние лежат в одной плоскости. Каждая точка прямой D имеет одну и ту же степень относительно обеих данных окружностей, и потому ее можно рассматривать как их радикальный центр. Отсюда следует, что существование прямой D не зависит от выбора шаров 5, 5, S3 и 54, проходящих по два через данные окружности. Будем называть в этом случае прямую D для краткости радикальной осью данных окружностей независимо от того, лежат ли последние в одной плоскости или нет. [31]
Чтобы доказать существование таких точек, достаточно взять какой-либо шар такой, чтобы данная плоскость была радикальной плоскостью этого шара и данного, и рассмотреть предельные точки обоих шаров. [32]
Доказать и преобразовать при помощи инверсии следующую теорему: любая общая касательная к двум шарам делится пополам радикальной плоскостью. [33]
Каждый из этих шаров будет, очевидно, ортогонален н ко всем шарам, имеющим с 5 и S общую радикальную плоскость, а следовательно, п к искомому шару. [34]
Если радикальная плоскость шаров S т S совпадает с радикальной плоскостью шаров 5 и S, то она будет также радикальной плоскостью шаров S и S, потому что все точки этой плоскости будут иметь одну и ту же степень относительно всех трех шаров. [35]
Отсюда, как в решении упражнения 149 планиметрии, заключаем, что искомое геометрическое место есть шар, имеющий с двумя данными шарами общую радикальную плоскость, если это геометрическое место существует и не обращается в точку. [36]
Так как каждая точка радикальной плоскости двух шаров имеет относительно обоих шаров равные степени, то касательные к обоим шарам, проведенные из какой-либо точки радикальной плоскости, внешней по отношению к данным шарам, между собой равны. Отсюда и следует, что отрезок любой общей касательной к двум тарам, заключенный между точками касания, делится радикальной плоскостью пополам. [37]
Действительно, шары S, имеющие общую радикальную плоскость, можно охарактеризовать как шары, ортогональные к трем данным шарам S1, S и S с центрами в этой радикальной плоскости. При этом последние три шара надо выбрать так, чтобы их центры не лежали на одной прямой, иначе говоря, так, чтобы не всякий шар, ортогональный к двум из них, был ортогонален к третьему. [38]
Если существуют три шара, каждый из которых имеет общую радикальную плоскость с двумя из данных шаров и ортогонален к третьему из них, то эти три шара имеют общую радикальную плоскость. [39]
На основании сказанного в решении упражнения 763, две последовательные инверсии относительно шаров S и S можно заменить инверсией относительно некоторого шара S, имеющего с шарами S и S общую радикальную плоскость 50, сопровождаемой симметрией относительно этой последней плоскости. [40]
Поэтому точка Р лежит в радикальной плоскости шаров 5 и S и, значит, имеет ту же степень р и относительно любого шара S, имеющего с 5 и 5 общую радикальную плоскость. Следовательно, шар S преобразуется инверсией / сам в себя и потому ( если он пересекает один из шаров 20 и 2) пересекает шары 20 и 2 под строго равными ( под строго пополнительными) углами. [41]
Если данные шары Si и S2 пересекаются, то любая точка О линии центров этих шаров служит центром шара S1, проходящего через линию пересечения и потому имеющего с шарами St n S2 общую радикальную плоскость. [42]
Если данные шары S1 и S2 касаются друг друга в точке Т, то любая точка линии центров, отличная от Т, будет центром шара, имеющего с 5, и S2 общую радикальную плоскость. [43]
Если один из ортогональных шаров пересекает плоскость центров по окружности С, то и все шары, ортогональные к трем данным, будут проходить через ту же окружность С, так как эти шары имеют общую радикальную плоскость. Но так как радикальная ось целиком лежит вне каждого из данных шаров, то за центр шара О ( rj), к ним ортогонального, можно принять, в частности, точку пересечения радикальной оси с плоскостью центров. При этом шар О1 ( Г ]) заведомо будет пересекать плоскость центров. [44]
При обобщении предложений XI и Х1а на произвольные ( хотя бы и не пересекающиеся) шары мы должны естественным образом заменить шар, проходящий через линию пересечения двух данных, шаром, имеющим с ними общую радикальную плоскость. [45]