Cтраница 2
Найти шар, имеющий с данным шаром S данную радикальную плоскость и касательный к данному шару А; эта задача ничем не отличается от задачи, рассмотренной в Пл. [16]
Обратно, пусть даны три шара, имеющие общую радикальную плоскость, и некоторая окружность, касающаяся двух из этих трех шаров и пересекающая трети. Выполняя инверсию с полюсом в одной из точек пересечения ( и произвольной степенью), мы получим два шара, их радикальную плоскость и одну из общих касательных к двум шарам. [17]
Все шары, проходящие через окружность С, имеют общую радикальную плоскость и потому пересекают ( упр. [18]
Если существуют три шара, каждый из которых имеет общую радикальную плоскость с двумя из данных шаров и ортогонален к третьему из них, то эти три шара имеют общую радикальную плоскость. [19]
Если радикальная плоскость шаров S т S совпадает с радикальной плоскостью шаров 5 и S, то она будет также радикальной плоскостью шаров S и S, потому что все точки этой плоскости будут иметь одну и ту же степень относительно всех трех шаров. [20]
Если некоторая окружность касается двух из трех данных шаров, имеющих общую радикальную плоскость, и пересекает третий, то точки ее пересечения с последним шаром гармонически сопряжены относительно точек ее касания с двумя первыми. [21]
Если центры трех шаров лежат на одной прямой, то все три радикальные плоскости перпендикулярны к этой прямой. [22]
Если две данные сферы не пересекаются, то искомое геометрическое место есть радикальная плоскость данных сфер. Если две данные сферы пересекаются, то искомое геометрическое место есть множество всех точек радикальной плоскости данных сфер за вычетом всех точек круга, ограниченного окружностью, по которой пересекаются эти сферы. [23]
Геометрическим местом точек О будет в этом случае, очевидно, часть радикальной плоскости, внутренняя по отношению к одному ( а следовательно, и по отношению к другому) из данных шаров. Геометрическое место существует только в случае двух пересекающихся шаров. [24]
Найти геометрическое место точек, обратных данной точке относительно шаров, имеющих общую радикальную плоскость или общую радикальную ось. [25]
Эти плоскости преобразуются инверсией в шары, имеющие с другими преобразованными шарами соответственно общую радикальную плоскость или общую радикальную ось. [26]
Шары, обратные шарам, имеющим общую радикальную плоскость, также имеют общ ю радикальную плоскость; шары, обратные шарам, имеющим общую радикальную ось, также имеют общую радикальную ось. [27]
Итак, геометрическое место точек, обратных данной точке А относительно шаров, имеющих общую радикальную плоскость, есть, вообще говоря, окружность или дуга окружности. Если точка А лежит на линии центров рассматриваемых шаров, то геометрическое место обращается в прямую линию, в некоторую часть этой прямой ( см. выше) или в точку. [28]
В том случае, когда среди шаров, имеющих с шарами S и S общую радикальную плоскость, не существует шаров, касающихся искомого шара, и то же имеет место для каждой из пар шаров S и S, S и S, S и 5, S и S, S и S, описанный способ оказывается неприменимым. Это может случиться лишь в том случае, когда каждые два из четырех данных шаров имеют общие точки. [29]
Поэтому окружность С пересекает под прямым углом все шары, имеющие с 5а и S2 общую радикальную плоскость. Таким образом, точка Л3 лежит на окружности С. Итак, точки, обратные точке Л относительно всех шаров, имеющих с шарами S, и S2 общую радикальную плоскость, лежат на окружности С. [30]