Гиперболическая плоскость

Cтраница 1

Гиперболическая плоскость, обозначаемая через Я2, открытая Лобачевским и Бойяи в 1828 г. - это геометрия, в которой аксиома параллельных неверна. Обычно ее представляют как внутренность круга на плоскости. [1]

Гиперболической плоскостью называется двумерное пространство L с невырожденным симметричным скалярным произведением (), имеющее ненулевой изотропный вектор. [2]

Тогда гиперболическая плоскость Н в Я3, опирающаяся на dU, пересекает свой образу 1 ( Я), g fyf - 1t по некоторой геодезической 3, которая является поднятием геодезической р1 на универсальную накрывающую Мр поверхности S. [3]

Отображение гиперболической плоскости на евклидовом ( бельтрамиевом) круге выполнено совершенно безукоризненно; двумерная гиперболическая геометрия осуществляется здесь полностью. Совершенно аналогично выполняется отображение гиперболического пространства внутри евклидовой сферы. Всякое противоречие в гиперболической геометрии, если бы оно обнаружилось, означало бы, что аналогичное противоречие имеется и в геометрии Евклида, Поэтому гиперболическая геометрия логически столь же правильна, столь же непротиворечива, как и геометрия Евклида. [4]

Прямая гиперболической плоскости выражается в бельтрамиевых координатах линейным уравнением. Но линейным же уравнением в тех же координатах X, У на евклидовой плоскости также выражается прямая на нашем круге - его хорда. Прямые гиперболической плоскости изображаются на карте хордами граничного круга; концы хорд отвечают бесконечно удаленным точкам гиперболической прямой. Теперь пусть аЪ будет какая-либо хорда граничного круга, АВ - соответствующая прямая на гиперболической плоскости, с - точка вне этой прямой, С - соответствующая точка гиперболической плоскости. [5]

Для случая гиперболической плоскости такое перечисление невозможно. Причина этого кроется в некоторой неопределенности той связи, которая существует между углами прямолинейной фигуры в геометрии Лобачевского. [6]

Для определения гиперболической плоскости Кроув предложил систему аксиом, которая обеспечивает отсутствие трактов на плоскости. [7]

Так как любая иэометрия гиперболической плоскости является произведением не более чем трех отражений, то подгруппа сохраняющих ориентацию изометрий состоит из произведений пар отражений. Обратно, легко показать непосредственно, что любое такое преобразование является произведением двух отражений, или же прямым вычислением проверить, что любое такое преобразование является изометрией гиперболической плоскости. Заметим, что преобразование пополненной комплексной плоскости CU вида гн - ( аг b) / ( cz d), где а, Ь, с, d s С и ad - be О, называется преобразованием Мебиуса. Отсюда следует, что подгруппу сохраняющих ориентацию изометрий Я2 можно отождествить с группой PSL ( 2, R), определяемой как факторгруппа группы SL ( 2, R) по центральной подгруппе порядка два. Группа PSL ( 2, R) является подгруппой группы PSL ( 2, С) всех преобразований Мебиуса плоскости С, и это позволяет дать другую удобную модель, или карту, гиперболической плоскости. [8]

Сантало [74] вывел, в гиперболической плоскости, несколько типичных для интегральной геометрии формул. [9]

Если рассмотреть две любые точки гиперболической плоскости Я2, то в Я2 существует единственная геодезическая описанного типа, которая проходит через обе эти точки. Предположим теперь, что в Я2 существует какая-нибудь геодезическая / другого типа. Можно найти две такие точки Р и Q на /, что отрезок кривой / между Р и Q короче ( возможно, не строго) любого другого пути от Р до Q. Существует также геодезическая т, проходящая через точки Р и Q и являющаяся вертикальной прямой или полуокружностью; применяя, если нужно, отражение гиперболической плоскости, можно считать, что т является вертикальной прямой. Но, как мы показали ранее, отрезок прямой т, заключенный между точками Р и Q, строго короче, чем любой другой путь от Р до Q. Это противоречит тому, что отрезок кривой / между Р и Q короче любого другого пути, соединяющего Р с Q. Как и в Е2, любая пара точек в Я2 лежит на единственной геодезической и две различные геодезические пересекаются не более чем в одной точке. [10]

Через точку Р проходит бесконечно много геодезических в Яа, не пересекающих геодезической /. [11]

Таким образом, наше отображение гиперболической плоскости не искажает углы. Эти замечания объясняют также, почему инверсия эвклидовой плоскости сохраняет величины углов, но меняет их знак. [12]

Но это есть модель Пуанкаре обыкновенной вещественной гиперболической плоскости. [13]

Универсальное накрывающее пространство для Rh есть гиперболическая плоскость Н с расстоянием Ь ( х, у), которую мы будем рассматривать как внутреннюю область единичной окружности С евклидовой плоскости с таким расстоянием е ( х, у), что гиперболические прямые оказываются евклидовыми дугами, ортогональными С. Евклидов центр pv окружности С является гиперболическим центром фундаментального множества H ( pi) с замыканием FF ( pj), граница которого F ( pi) - H ( p есть правильный 4 -угольиик в гиперболическом смысле. [14]

Это определение обобщает тот факт для гиперболической плоскости Я2 ( дающийся теоремой Феншеля - Нильсена о пересечении осей ( ср. G имеют пересекающиеся оси, если и только если оси элементов f ( g) и ср ( h) пересекаются. [15]

Страницы: 1 2 3 4