Cтраница 2
Фукса необходимо найти прерывные группы движений гиперболической плоскости. [16]
Мы можем смотреть и так, что гиперболическая плоскость представляет собой отображение этой евклидовой полуплоскости. [17]
Пусть Г - дискретная группа собственных движений гиперболической плоскости А2, и факторпространство Y Л2 / Г компактно. [18]
Если а - нетривиальная сохраняющая ориентацию изометрия гиперболической плоскости Я2, то группа С ( а) всех сохраняющих ориентацию изометрий, которые коммутируют с а, является абелевой и изоморфна либо S1, в случае когда а - поворот, либо R - в остальных случаях. [19]
Применим аналогичные соображения к случаю групп движения гиперболической плоскости. Пусть па гиперболической плоскости есть многоугольник, ограниченный неевклидовыми прямыми, обладающий следующими двумя свойствами. [20]
В последнее десятилетие появилось несколько исследований по гиперболическим плоскостям, и теперь известно, что существуют нерегулярные конечные гиперболические плоскости. [21]
Совершенно такой же случай может быть п для гиперболической плоскости. Но на гиперболической плоскости есть бесконечно удаленная окружность ( действительная ось или окружность), поэтому в состав периметра многоугольника могут входить дуги этой окружности. Такие дуги носят название сторон второго рода, а все остальные стороны многоугольников называются сторонами первого рода. [22]
В заключение этого параграфа обсудим дискретные группы изометрий гиперболической плоскости. Если G - такая группа и G действует на Я2 свободно, то, как и обычно, фак-тормногообразие H2 / G наследует естественную метрику, такую что проекция H2 - - H2 / G является локальной изометрией. Если G действует несвободно, то H2 / G все равно наследует естественную метрику, но при этом имеются особые точки трех типов - конические точки, отражающие прямые и угловые отражатели. Хороший класс примеров опять доставляют группы треугольников. Как обычно, мы определяем группу A ( p q r) как группу изометрий гиперболической плоскости, порожденную отражениями относительно сторон треугольника А, а группу h ( p q r) как ее подгруппу, состоящую из преобразований, сохраняющих ориентацию. Можно доказать, что образы треугольника А под действием группы k ( p q r) задают разбиение гиперболической плоскости и что стабилизатор треугольника А тривиален, но это не так очевидно, как в предыдущих случаях. Отсюда следует, что факторповерхность Я2 / А ( р, q, r) изометрична исходному треугольнику А, а факторповерхность H2 / & ( p q r) изометрична удвоенному треугольнику А и потому является двумерной сферой с гиперболической метрикой всюду, кроме трех конических точек. [23]
Прямым ab, ca, cb соответствуют на гиперболической плоскости прямые АВ, С А и СВ и так как точкам а и 6 соответствуют бесконечно удаленные точки, то СА и СВ суть прямые, параллельные АВ именно в том смысле, как это понимает Лобачевский. Прямые ch, проходящие внутри угла acb, пересекают хорду ab им соответствуют на гиперболической плоскости прямые СН, пересекающие прямую АВ, сходящиеся с ней. Прямые с /, проходящие внутри вертикальных углов Ьса и acb, не встречают хорды аЪ соответствующие им на гиперболическом плоскости прямые CF расходятся с АВ. [24]
Как и для симметрических форм, мы определяем гиперболическую плоскость ( для знакопеременных форм) как двумерное невырожденное пространство. На этот раз мы автоматически получаем элемент да, такой, что - да2 0, чю Ф О, так что нет надобности специально выделять это. [25]
Как и для симметрических форм, мы определяем гиперболическую плоскость ( для знакопеременных форм) как двумерное невырожденное пространство. На этот раз мы автоматически получаем элемент - о, такой, что ги2 0, w О, так что нет надобности специально выделять это. [26]
Теперь мы в состоянии доказать, что всякая изометрия гиперболической плоскости Я2 является произведением описанных выше отражений. Заметим, что для любых двух данных точек х, у в Я2 существует отражение, меняющее их местами. Заметим также, что через любую точку гиперболической плоскости Я2 проходит ровно одна геодезическая в каждом направлении. [27]
Для завершения доказательства нам нужно показать, что изометрия гиперболической плоскости Я2, оставляющая неподвижными все точки некоторой геодезической / и не меняющая местами ее сторон, является тождественным отображением. Так как изометрия у сохраняет углы, то она должна сохранять геодезическую m и, таким образом, оставлять все точки кривой m на месте. Поскольку любая точка гиперболической плоскости Я2 лежит на некоторой геодезической, проходящей через точку Р, отсюда следует требуемый результат. Заметим, что из проведенного доказательства следует, что всякая изометрия гиперболической плоскости пред-ставима в виде произведения не более чем трех отражений. [28]
Гиперболическим пространством называется пространство, разлагающееся в прямую сумму попарно ортогональных гиперболических плоскостей. [29]
Этим рассуждением доказана следующая основная теорема Пуанкаре о прерывнЪсти групп движений гиперболической плоскости: если мы имеем многоугольник, удовлетворяющий двум основным условиям I и II ( см. стр. [30]