Cтраница 2
Существуют проективные плоскости, в которых теорема Дезарга не выполняется. Мы будем говорить о дезарговой или недезарговой плоскостях в зависимости от того, справедлива или нет в данной плоскости теорема Дезарга. [16]
Две проективные плоскости St и 52 называются изоморфными, если существует би-екция /: 51 - 52, которая переводит точки в точки, прямые в прямые и сохраняет отношение инцидентности. [17]
Реализации проективной плоскости в виде связки либо в виде евклидовой плоскости, пополненной несобственными элементами, удобны тем, что дают возможность сводить теоремы проективной геометрии проективной плоскости к теоремам аффинной геометрии евклидовой плоскости или евклидова пространства. [18]
На проективной плоскости П, полученной путем пополнения плоскости тс евклидова пространства несобственными элементами, овальная линия второго порядка есть либо эллипс, либо гипербола пополненная несобственными точками ее асим-птоту либо парабола, пополненная несобственной точкой ее диаметров. И обратно каждый эллипс, а также каждые гипербола и парабола, пополненные указанными несобственными точками, являются овальными линиями второго порядка. [19]
На проективной плоскости, разбитой на треугольники, такого согласованного обхода всех треугольников выбрать невозможно. [20]
Понятие проективной плоскости, возникшее из понятия классической проективной плоскости, постепенно обобщалось, и одновременно с этим обобщалось понятие координат, служивших для алгебраического описания плоскости. Когда возникла потребность в алгебраическом описании недезарговых плоскостей, для задания координат стали применяться новые виды алгебраических систем, так называемые тернарные системы - с операцией, определяемой на множестве троек элементов основного множества. При фиксировании того или иного элемента тройки получаются некоторые бинарные операции, в терминах которых можно описать существенные свойства тернарных систем. [21]
На проективной плоскости введена проективна система координат A ] AzAaE. Mi относительно точек Аг, Л3; Na - точка, га ионически сопряженная с точкой Mt относительно точек А Ai, N3 - точка, гармонически сопряженная с точкой М3 отж сительно точек Лх, Аг. Доказать, что точки Nb N N3 лежат на одной прямой, и найти координаты это прямой. [22]
На проективной плоскости верны следующие утверждения: 1) через любые две различные точки проходит прямая и притом только одна; 2) любые две различные прямые имеют общую точку и притом только одну. Аналогично проективное пространство получается из евклидова присоединением несобственных, или бесконечно удаленных, точек, несобственных прямых и несобственной плоскости. В проективном пространстве, как и на плоскости, любые две прямые, лежащие в одной плоскости, всегда пересекаются. В проективном пространстве любые две плоскости пересекаются по прямой. Наконец, всякая прямая, не лежащая в плоскости, всегда пересекает последнюю. [23]
В проективной плоскости сохраняются первая и третья аксиомы аффинной плоскости, а вместо второй аксиомы о параллельных формулируется аксиома пересечения. Таким образом, проективная плоскость строится на аксиомах соединения: 1) две точки определяют единственную прямую, проходящую через них; 2) любые две прямые имеют общую точку, принадлежащую обеим прямым; 3) существуют по крайней мере три неколлинеарные точки. Из второй аксиомы соединения видно, что в проективной геометрии отсутствует понятие параллельности прямых. Как две любые прямые, так и параллельные прямые определяют точку, которая называется несобственной. Из этой аксиомы следует, что в проективной геометрии прямая является замкнутой линией. Для наглядности прямую иногда представляют в виде окружности и тогда становится очевидным, что - одна точка не разделяет прямую на две части, как и разрезанное кольцо не распадается на два куска. На две части прямая разделяется двумя точками. Ту ее часть, которая содержит несобственную точку, можно назвать внешней. [24]
Для проективной плоскости верны следующие утверждения: 1) через любые две различные точки проходит прямая и только одна, 2) любые две прямые имеют общую точку и только одну. [25]
В любой проективной плоскости теорема Панна - Паскаля влечет за собой предложение Дезарга. [26]
Поляритет проективной плоскости относительно произвольной овальной линии второго порядка есть коррелятивное и притом инволютивное преобразование. [27]
Исключая проективную плоскость дг4 0 и нормируя оставшиеся точки условием дг4 1, получим в аффинном пространстве однополостпые гиперболоиды. [28]
Например, проективная плоскость не является комплексно аналитическим многообразием. [29]
Может ли проективная плоскость RP2 накрывать тор. [30]