Cтраница 1
Аффинная плоскость состоит из 42 16 точек и 42 - - 4 - 20 прямых; каждая прямая состоит из 4 точек, и через каждую точку проходят 5 прямых. Множество всех прямых можно разбить на 5 классов по 4 прямых в каждом классе так, что любые две прямые одного класса параллельны, а любые две прямые разных классов пересекаются: через каждые две точки проходит единственная прямая; череп точку, лежащую вне какой-либо прямой, проходит единственная прямая, не пересекающаяся с первой прямой; точки Р9, Р10 п Рп не коллинеарны. [1]
Аффинная плоскость не имеет форм, кроме нее самой. [2]
Аффинная плоскость AG ( 2, q) может быть определена как 2 - ( q2, q, 1) - схема. Возможно также аксиоматическое определение через понятие параллельности. Вновь наше понятие допускает неоднозначное толкование. Точный аналог теоремы Веблена - Янга доказан Букенхаутом [15] при ограничении, что каждая прямая имеет, по крайней мере, четыре точки; Холл [33] построил контрпример с тремя точками на любой прямой. И точно так же аффинные плоскости над полями характеризуются теоремой Дезарга. [3]
Две аффинные плоскости S и S изоморфны, если существует взаимно однозначное отображение a: S - S, сохраняющее коллинеарность точек. [4]
В аффинной плоскости над полем Я любые две точки лежат на единственной прямой, а любые две непараллельные прямые пересекаются в единственной точке. [5]
Для аффинных плоскостей ситуация немного иная, поскольку необходимое условие ( предложение 1.10) всегда выполнено. Известно много примеров: аффинные плоскости над конечными полями все расширяемы, иногда более чем одним способом. [6]
На аффинной плоскости нельзя разместить не только четыре, но даже и три треугольника с таким взаимным прилеганием сторон, какое наблюдается в трехвершин-нике. [7]
Рассмотрим аффинную плоскость порядка q, определяемую системой аксиом А. Эта плоскость состоит из д2 точек и q ( q 1) прямых. Выделим из множества всех подстановок - элементного множества точек подмножество подстановок, которые удовлетворяют условию ( 3), сформулированному в начале параграфа 1.12. Легко проверить, что указанное подмножество подстановок есть подгруппа в группе всех подстановок. Эта подгруппа называется группой коллинеаций аффинной плоскости. [8]
Множество прямых аффинной плоскости разбивается на п-т пучок параллельных прямых по п прямых в каждом. Сопоставим ему граф Г; на множестве вершин 5s, в котором пара точек соединена ребром тогда и только тогда, когда проходящая через них прямая принадлежит Si. Клин показали, что аффинное клеточное кольцо обладает замечательным свойством: любое разбиение множества его антирефлексивных образующих порождает клеточное кольцо. [9]
Пусть в аффинной плоскости установлена некоторая система координат. [10]
Переход от аффинной плоскости П к расширенной плоскости П означает, что от аффинной геометрии мы переходим к принципиально новой геометрии - геометрии расширенной плоскости. [11]
Доказать, что конечная аффинная плоскость эквивалентна полному множеству попарно ортогональных латинских квадратов. [12]
По теореме 12.3.3 аффинная плоскость порядка п существует тогда и только тогда, когда существует проективная плоскость порядка / г, и аффинная плоскость есть остаточная схема проективной плоскости. Но если мы возьмем проективную плоскость, то аффинные плоскости, полученные удалением двух различных прямых, будут изоморфны в том и только том случае, когда существует автоморфизм проективной плоскости, переводящий одну из этих прямых в другую. В самом деле, доказательство теоремы 12.3.3 показывает, что изоморфизм между аффинными плоскостями единственным образом можно распространить на изоморфизм между проективными плоскостями, в которые они вложены. [13]
Существуют такие метризации аффинной плоскости, превращающие ее в прямое пространство с аффинными прямыми в качестве геодезических, что для любых двух параллельных прямых LI, 1а расстояние р ( х, La) стремится к бесконечности, когда точка х пробегает прямую L в любом направлении. [14]
Так как на аффинной плоскости выполняются аксиомы связи и аксиомы порядка геометрии Евклида, то на ней имеют место и все следствия, вытекающие из этих аксиом. [15]