Cтраница 3
Координаты и тернар были определены для аффинной плоскости. [31]
Таким образом, каждой точке А аффинной плоскости взаимно однозначно сопоставляется пара чисел ( х, у) Числа х, у называются декартовыми координатами точки. [32]
Отыскание точек пересечения этих линий на аффинной плоскости сводится к решению системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными х, у. Вообще говоря, такая система имеет четыре решения, так что данные линии пересекаются в четырех точках. Суть дела здесь в том, что точки пересечения могут уходить в бесконечность. Это показывает, что для того, чтобы добиться правильного числа точек пересечения, необходимо перейти в аффинно-проективную ( или просто проективную) плоскость. [33]
Проективная прямая интерпретируется как собственный пучок прямых аффинной плоскости с центром л начале аффинной системы координат. [34]
Легко видеть, что для прямых на аффинной плоскости выполняется аксиома параллельности евклидовой геометрии. [35]
Ясно, что любая прямая евклидовой или аффинной плоскости автоматически является евклидовой или, соответственно, аффинной прямой. То же самое верно и для прямых на проективной плоскости. [36]
Следовательно, переход от аффинной плоскости к специальной аффинной плоскости заключается в выборе на плоскости некоторой ориентации. В этом смысле можно сказать, что специальные аффинные плоскости являются не чем иным, как ориентированными аффинными плоскостями. [37]
При А, 1 это есть вложение конечной аффинной плоскости в конечную проективную плоскость, а этот результат уже был доказан в теореме 12.3.3. При А 2 доказательство значительно усложняется и опирается на применение теоремы 16.1.1. В основе его - установление следующей леммы. [38]
Как интерпретируется это преобразование в собственном пучке прямых аффинной плоскости. [39]
В проективной плоскости сохраняются первая и третья аксиомы аффинной плоскости, а вместо второй аксиомы о параллельных формулируется аксиома пересечения. Таким образом, проективная плоскость строится на аксиомах соединения: 1) две точки определяют единственную прямую, проходящую через них; 2) любые две прямые имеют общую точку, принадлежащую обеим прямым; 3) существуют по крайней мере три неколлинеарные точки. Из второй аксиомы соединения видно, что в проективной геометрии отсутствует понятие параллельности прямых. Как две любые прямые, так и параллельные прямые определяют точку, которая называется несобственной. Из этой аксиомы следует, что в проективной геометрии прямая является замкнутой линией. Для наглядности прямую иногда представляют в виде окружности и тогда становится очевидным, что - одна точка не разделяет прямую на две части, как и разрезанное кольцо не распадается на два куска. На две части прямая разделяется двумя точками. Ту ее часть, которая содержит несобственную точку, можно назвать внешней. [40]
Как было указано выше, для точек прямых аффинной плоскости выполняются линейные аксиомы порядка евклидовой геометрии. Покажем, что плоская аксиома порядка тоже выполняется. [41]
Поэтому это соответствие позволяет определить множество Зй как аффинную плоскость. [42]
В свете того обстоятельства, что единственной римаиовой метризацией аффинной плоскости, для которой роль геодезических играют аффинные прямые, является евклидова метризация [ ср. Они вновь показывают большое разнообразие неримановых метрик. [43]
При К R мы получаем уже известное нам определение обычной аффинной плоскости. Плоскость над полем R называется вещественной плоскостью. Аналогично, плоскость над полем С ( случай, для нас сейчас наиболее интересный) называется, комплексной плоскостью. [44]
Будем считать, что проективная плоскость получена в результате пополнения аффинной плоскости бесконечно удаленными точками. [45]