Cтраница 1
Расширенная плоскость, - окрестностью точки г6 называется множество точек г комплексной плоскости таких, что г - г0 е, где е 0 - заданное число. [1]
Аффинная расширенная плоскость называется часто аффин-но-проективной плоскостью, а евклидова расширенная плоскость - евклидово-проективной плоскостью. [2]
Аналогично расширенной плоскости мы можем построить расширенное пространство, точками которого являются все точки аффинного пространства плюс некоторое множество несобственных точек. При этом каждой прямой К аффинного пространства сопоставлена некоторая несобственная точка - несобственная точка этой прямой, причем так, что любая несобственная точка является несобственной точкой некоторой прямой и двум различным прямым тогда и только тогда сопоставлена одна и та же точка, когда эти прямые параллельны. [3]
G расширенной плоскости на другую осуществляется посредством некоторой однолистной в области О функции. Поэтому в дальнейшем можно употреблять выражения: конформное отображение области ( первого рода) и отображение области посредством однолистной функции как равнозначащие. [4]
В расширенной плоскости мы сохраняем определенное различие между собственными и несобственными точками. Можно, однако, сделать следующий шаг и считать собственные и несобственные точки абсолютно равноправными и неотличимыми друг от друга. [5]
Если в расширенной плоскости ф-ция / ( г) имеет только конечное число особых точек однозначного характера, то сумма вычетов относительно всех ее особых точек ( включая оо) равна нулю. [6]
Таким образом, подобно расширенной плоскости пополненная плоскость не имеет непересекающихся прямых. В этом отношении прямые на пополненной плоскости напоминают не столько прямые на расширенной плоскости, сколько окружности на обычной ( евклидовой) плоскости. Действительно, две окружности имеют, вообще говоря, две общие ( собственные) точки ( возможно, мнимые), за исключением того случая, когда они касаются. [7]
Пусть G - область расширенной плоскости и w f ( z) - функция, обобщенно-непрерывная в G и отображающая G взаимно однозначно на некоторое множество D; тогда D является также областью и функция z J-1 ( w), обратная по отношению к f ( z), обобщенно-непрерывна в области D. Если при тех же предположениях f ( z) определена и на границе Г области G и притом так, что она является обобщенно-непрерывной в замкнутой области О, то она отображает Г на границу Д области D; иными словами, граница образа области G совпадает с образом границы той же области. [8]
Множество всех несобственных точек расширенной плоскости мы также будем считать прямой на этой плоскости и будем называть его несобственной прямой. [9]
Еще одну полезную модель расширенной плоскости мы получим, привлекая вещественные числа. Построение такой числовой модели с содержательной точки зрения равносильно введению в расширенную плоскость координат. Поэтому мы в первую очередь рассмотрим ( пока с содержательных позиций), как в геометрии расширенной плоскости могут быть введены координаты. [10]
Определенная таким образом во всей расширенной плоскости z дробно-линейная функция является, очевидно, ме-роморфной функцией во всей расширенной плоскости. [11]
Эта функция регулярна во всей расширенной плоскости, так что по теореме Лиувилля ( см. теорему 2.3 гл. [12]
Для областей, лежащих в расширенной плоскости, понятие односвязности несколько обобщается. Именно, такая область называемся односвязной, если для замкнутой жордановой кривой, принадлежащей области, либо внутренняя, либо внешняя часть ( включая и бесконечно удаленную точку) принадлежит этой области. Например, внешняя часть многоугольника является здесь односвязной или многосвязной, смотря по тому, включаем ли мы в нее бесконечно удаленную точку или же исключаем. [13]
О, является обобщенно-непрерывной в расширенной плоскости. [14]
Другими словами, аксиоматика геометрии расширенной плоскости полна. [15]