Cтраница 4
Методика нахождения статистических оценок аналогично, как и байесова методика статистических решений ( обнаружения), базируется на составлении функции риска R, включающей апостериорные совместные плотности вероятности w ( a, Y) ( учитывающие одновременно статистику самого параметра и статистику получения выборок по множеству реализаций), а также стоимости С отдельных решений. [46]
Конечно, для гауссовского стационарного процесса ( t) результаты ( 9), ( 10) могут быть получены и более прямым путем - Для этого необходимо совместную плотность вероятности (1.5.11) подставить в формулы (2.1.22) - (2.1.24) и выполнить интегрирование. [47]
Колмогоровым было доказано, что произвольный набор функций, удовлетворяющий четырем условиям непротиворечивости, определяет стохастический процесс Y ( t) в том смысле, как он был определен в § 3.1. Следовательно, иерархия совместных плотностей вероятности дает еще одну равноценную возможность определить стохастические процессы, которая служит альтернативой определению, данному в гл. Правда, в общем доказательстве конструкция переменной X, соответствующая данной иерархии, достаточно абстрактна. [48]
Согласно формуле (2.1.22), для вычисления среднего числа положительных пересечений N - f ( Н) заданного уровня Н стационарным процессом г) ( t) на интервале времени [ О, Т ] [ О, 1 ] необходимо предварительно найти совместную плотность вероятности р ( г), г) р ( т ] ( t, T ( t)) для значений процесса т ] ( it) и его производной ч ( t) в совпадающие моменты времени. [49]
Несмотря на то, что рп содержит больше информации, чем pn i, не существует верхней границы для п при непрерывном параметре t, и никакое рп не может при конечных п полностью описать случайный процесс. Только совместная плотность вероятности бесконечного порядка при всех t, или функционал вероятности p ( x ( t)), в котором [ x ( t) означает бесконечное множество всех х при всех t, содержит полное статистическое описание случайного процесса. Однако явная форма функционала p ( x ( t)) часто неизвестна. [50]