Cтраница 4
СДУ могут быть легко получены в явном виде. К этому классу принадлежит модель Ферхюльста, чего нельзя сказать о более интересной генетической модели. Таким образом, возникает настоятельная необходимость в более общем подходе к проблеме. Для наших целей достаточно рассмотреть ситуацию, когда стационарная плотность вероятности существует и единственна. [46]
Разумеется, это качественное изменение в стационарном состоянии системы можно связать с тем, что степень многочлена (6.60), задающего экстремумы плотности вероятности, увеличилась на единицу по сравнению с уравнением для детерминированных стационарных состояний. Такого рода качественные изменения становятся очень наглядными, если ввести стохастический потенциал. Ниже перехода этот потенциал имеет лишь одну долину и поэтому напоминает детерминированный потенциал. Шум оказывает лишь дезорганизующее действие, приводящее к расплыванию стационарной плотности вероятности. В точке перехода 0 4 дно, как показано на рис. 6.6, поднимается, и образуются две новые потенциальные ямы, так как границы 0 и 1 должны оставаться естественными границами. Это означает, что ( в отличие от аддитивного шума) мультипликативный шум не только оказывает дезорганизующее действие, но и может стабилизировать новые макроскопические состояния в системе. [47]
Тот результат, что СДУ (8.72) следует интерпретировать в смысле Стратоновича, конечно, можно было ожидать в свете теоремы Вонга и Закаи, которая рассмотрена в гл. Теперь низший порядок стационарной плотности распределения определен полностью. Как мы видели, для полного определения нулевого порядка разложения следует перейти ко второму порядку и рассмотреть соответствующую альтернативу Фредголь-ма. Оказывается, что и в общем случае для вычисления стационарной плотности вероятностей вплоть до fe-ro порядка следует использовать схему теории возмущений до k 2 порядка включительно. [48]
Максимумы соответствуют устойчивым стационарным состояниям, минимумы - неустойчивым стационарным состояниям. Подчеркнем, что подобное отождествление экстремумов с стационарными состояниями законно лишь при условии, если поток вероятности / s в стационарном состоянии обращается в нуль. Но как уже отмечалось выше, в рассматриваемых нами системах ( а для приложений, как правило, важны только такие системы) встречаются границы, поток вероятности через которые равен нулю. Следовательно, / s действительно тождественно равен нулю. Все это говорит о том, что проводимое нами отождествление экстремумов стационарной плотности вероятности ps ( x) с макроскопическими стационарными состояниями имеет под собой прочную основу. Как и в случае равновесных переходов и неравновесных переходов с внутренними флуктуациями, экстремумы плотности вероятности соответствуют фазам системы. Если же стационарная плотность вероятности имет два или более максимума, то система при одних и тех же внешних условиях может находиться в двух фазах. [49]
Максимумы соответствуют устойчивым стационарным состояниям, минимумы - неустойчивым стационарным состояниям. Подчеркнем, что подобное отождествление экстремумов с стационарными состояниями законно лишь при условии, если поток вероятности / s в стационарном состоянии обращается в нуль. Но как уже отмечалось выше, в рассматриваемых нами системах ( а для приложений, как правило, важны только такие системы) встречаются границы, поток вероятности через которые равен нулю. Следовательно, / s действительно тождественно равен нулю. Все это говорит о том, что проводимое нами отождествление экстремумов стационарной плотности вероятности ps ( x) с макроскопическими стационарными состояниями имеет под собой прочную основу. Как и в случае равновесных переходов и неравновесных переходов с внутренними флуктуациями, экстремумы плотности вероятности соответствуют фазам системы. Если же стационарная плотность вероятности имет два или более максимума, то система при одних и тех же внешних условиях может находиться в двух фазах. [50]
Как мы уже подчеркивали, в общем случае невозможно получить точное решение, например, для стационарной плотности вероятности системы, когда рассматривается шум произвольной формы. Дело обстоит так даже в довольно простом случае марковского гауссовского шума. Следовательно, общий случай внешнего цветного шума может быть рассмотрен лишь приближенными методами. Методы, развитые в гл. В частности, для последнего случая малых корреляционных времен в нашем распоряжении имеется метод разложения в ряд по теории возмущений. Этот метод использовался, чтобы показать, что фазовые переходы, индуцированные внешним шумом с малым временем корреляции, могут быть идентифицированы с переходами, исследованными в случае применения идеализации белого шума. Однако благодаря различию между двумя приближенными методами, используемыми для описания высокочастотного и низкочастотного шума, остается не ясным, каким образом переходы, предсказанные для случая быстрого шума, связаны с переходами, имеющими место в случае медленного внешнего шума. Желательно поэтому дополнить ту информацию, которая получается с помощью общих приближенных методов, информацией, полученной из изучения специальных классов внешнего цветного шума. Другими словами, полезно найти такие примеры Цветного шума, которые позволяют для произвольной системы с одной переменной точно вычислить по крайней мере стационарную плотность вероятности при любом значении времени корреляции. Как говорилось выше, гауссовский шум не принадлежит к этому классу. Следует обратиться к случайным процессам с более простой структурой, и вполне естественным кандидатом оказывается марковский процесс с дискретным пространством состояний. Простейшим процессом такого типа является дихотомический марковский шум, известный так же, как случайный телеграфный сигнал. В данной главе мы покажем, что он действительно позво ляет получить точные результаты и построить полную картину влияния корреляций. [51]