Cтраница 3
Как было показано в предыдущих главах, удобнее иметь дело с априорной плотностью вероятности, а не с апостериорной плотностью. [31]
Предположение ( Е2) принимается для облегчения анализа, а предположение ( ЕЗ) приводит к тому, что апостериорная плотность также оказывается нормальной и поэтому с ней легче производить различные преобразования. [32]
Она сводится к введению априорной плотности распределения параметров и последующему нахождению по формуле Байеса с учетом экспериментальных данных их апостериорной плотности распределения. Ключевым моментом в применении байесовского оценивания является первый шаг. [33]
Таким образом, апостериорная плотность оцениваемого параметра зависит только от функции правдоподобия на п-м шаге wy ( zn - sn) и апостериорной плотности, найденной на предыдущем шаге. В этом нетрудно убедиться ( предоставляем читателю сделать это самостоятельно), если заметить что на каждом шаге апостериорная плотность гауссова, а оценка равна апостериорному среднему. Алгоритм обработки получается линейным и по структуре представляет собой дискретный фильтр Калмена. [34]
Заметим также, что входящий в состав обнаружителя блок, вычисляющий апостериорную плотность сигнала W ( sft a xf -; tf - 1) может быть использован для оптимальной фильтрации сигнала из его смеси с помехой по критерию максимума апостериорной плотности ( или по критерию минимума среднего квадрата ошибки), а также и по байесовскому критерию. Следует, однако, подчеркнуть, что при принятии решения YI оценка f ( tm) не учитывает того, что вероятность правильного обнаружения меньше единицы. В отличие от рассмотренного выше байесовского подхода при таком оценивании, как в § 4.4, молчаливо предполагается, что присутствие сигнала достоверно. [35]
Эта плотность играет решающую роль в байесо-вой теории оценивания. Такие выражения для апостериорных плотностей могут быть получены только в случае определенного вида априорных плотностей, например нормальных плотностей вероятности. В других случаях приходится находить р ( 9 %) численным путем, что может быть затруднительно. [36]
Значения q умножают на указанные в табл. 26 - 4 коэффициенты областей наибольшей плотности для соответствующего числа степеней свободы и принятого уровня доверительной вероятности. Кривая распределения ( апостериорной плотности о) скошена таким образом, что этот интервал больше с одной стороны стандартного отклонения, чем с другой, и низкие значения стандартного отклонения менее вероятны, чем высокие. [37]
Эффективность алгоритмов обеспечивается при унимодальной апостериорной плотности. [38]
Анализируется круг задач, в которых при обработке навигационной информации возникает потребность применения методов теории нелинейной фильтрации. С позиций используемых способов аппроксимации апостериорной плотности проводится сравнительный анализ получивших наибольшее применение алгоритмов решения задач нелинейной фильтрации. Рассматриваются приближенные методы анализа потенциальной точности, основанные на вычислении ее нижней границы, отыскиваемой с применением неравенства Рао-Крамера. Обсуждаются особенности различных прикладных задач нелинейной фильтрации, решаемых, в частности, при первичной обработке в радионавигационных системах, и при вторичной обработке в интегрированных навигационных системах. Приводятся примеры решения некоторых задач нелинейной фильтрации. [39]
Анализируется круг задач, в которых при обработке навигационной информации возникает потребность применения методов теории нелинейной фильтрации. С позиций используемых способов аппроксимации апостериорной плотности проводится сравнительный анализ получивших наибольшее применение алгоритмов решения задач нелинейной фильтрации. Рассматриваются приближенные методы анализа потенциальной точности, основанные на вычислении ее нижней границы, отыскиваемой с применением неравенства Рао-Крамера. Обсуждаются особенности различных прикладных задач нелинейной фильтрации, решаемых, в частности, при первичной обработке в радионавигационных системах, и при вторичной обработке в интегрированных навигационных системах. Приводятся примеры решения некоторых задач нелинейной фильтрации. [40]
Формулы (4.103) и (4.104) показывают, что, как и следовало ожидать, апостериорные плотности также нормальные. Ясно, что и в общем случае апостериорная плотность W ( sn xj) нормальная. Изменяется лишь апостериорные средние, представляющие оптимальные оценки профильтрованного сигнала, и апостериорные дисперсии, представляющие минимальные средние квадраты ошибок. [41]
Другой подход к точному решению задачи оптимальной нелинейной фильтрации состоит в ограничении класса исследуемых процессов марковскими процессами или компонентами марковских процессов. При таком ограничении удается преодолеть трудности, связанные с вычислением апостериорной плотности оцениваемого процесса. Вопросу нелинейной фильтрации марковских случайных процессов посвящен последний раздел этой главы. [42]
Причем вся информация, характеризующая статистические свойства 0, сосредоточена в апостериорной плотности р ( 9 у) или в выборочной р ( 6) плотности распределения параметров. Однако построение точной выборочной плотности распределения 9 возможно только для линейно параметризованных моделей, а подавляющее большинство кинетических моделей ( как и моделей физико-химических систем) нелинейно параметризованы. Линеаризация по 9 нелинейных моделей не обеспечивает достаточно хорошей аппроксимации нелинейных ( даже репараметризованных) линеаризованными. Отсюда, следует, что выборочная плотность распределения р ( 9), соответствующая линеаризованной модели, будет существенно отличаться от р ( 0), соответствующей нелинейной модели. Причем это расхождение ( по крайней мере, для небольших выборок) может быть столь существенно, что приведет к получению абсурдных результатов. [43]
Рассмотрим, какого рода упрощения можно достичь при решении задачи обучения среднему значению в случае многих нормально распределенных переменных. Если предположить, что априорная плотность р ( ц) нормальна, то апостериорная плотность р ( и &) также будет нормальной. В этой статистике, вычисление которой не требует сложных математических преобразований, содержится вся информация, получаемая из выборок и требуемая для получения неизвестного среднего по множеству. Может показаться, что простота эта связана всего лишь с еще одним хорошим свойством, присущим именно нормальному распределению, а в других случаях ее трудно было бы ожидать. Хотя это в большой степени и верно, однако существует группа распределений, для которых можно получить решения, удобные с точки зрения вычислений, причем простота их применения заложена в понятии достаточной статистики. [44]
&, являются частным видом условных байесовских оценок при простой функции потерь. Аналогично, обобщая (2.83), укажем, что безусловные оценки, соответствующие максимуму апостериорной плотности оцениваемых параметров, являются частным случаем безусловных байесовских оценок при простой функции потерь. [45]