Поверхность - отрицательная кривизна
Cтраница 3
Теперь остается учесть третий факт, заключающийся в том, что основной метрической формой поверхности вполне определяется внутренняя ее геометрия. Так как поверхность постоянной отрицательной кривизны имеет ту же основную метрическую форму, что и плоскость Лобачевского, то она всегда несет на себе геометрию ( планиметрию) Лобачевского. Как уже было сказано, Бельтрами назвал поверхности постоянной отрицательной кривизны псевдосферическими. Его замечательное открытие можно поэтому формулировать так: на всякой псевдосферической поверхности осуществляется геометрия Лобачевского. [31]
Бельтрами ( 1862 г.) доказал, что на поверхности постоянной отрицательной кривизны имеет место плоская геометрия Лобачевского, если прямые Лобачевского мыслить себе как геодезические линии, а движение понимать в смысле изометрического наложения поверхности на себя. [32]
Это то, что подразумевают под транзитивностью. Адамар [ HI ] показал, что на данной вложенной в евклидово пространство поверхности отрицательной кривизны, имеющей, следовательно, бесконечные ветви, после небольшого шевеления можно заставить любую геодезическую уходить в любую из бесконечных ветвей. [33]
В дифференциальной геометрии Гильберт доказал трудную и на первый взгляд неожиданную теорему: в трехмерном пространстве всякая поверхность постоянной отрицательной кривизны имеет особенности. [34]
В отличие от тора, здесь упор делается на аналогию с поведением геодезических па поверхностях более общих, чем поверхности постоянной отрицательной кривизны. G-простраистпа, так что этот параграф можно рассматривать как скромный пример, который, надеемся, даст возможность читателю, интересующемуся затрагиваемыми здесь вопросами, самостоятельно развить другие части этой теории. [35]
 |
Геодезические линии в искривленном пространстве. линии сходятся в пространстве с положительной кривизной, и расходятся - в пространстве с отрицательной кривизной. [36] |
Если мы представим себе, что мировые линии свободно падающих частиц в некотором смысле ведут себя как геодезические линии на поверхности, то окажется, что существует тесная аналогия между гравитационным приливным эффектом, о котором шла речь выше, и эффектами кривизны поверхности - причем как положительной кривизны, так и отрицательной. Взгляните на рис. 5.25, 5.27. Мы видим, что в нашем пространстве-времени геодезические линии начинают расходиться в одном направлении ( когда они выстраиваются в сторону Земли) - как это происходит на поверхности отрицательной кривизны на рис. 5.28 - и сближаться в других направлениях ( когда они смещаются горизонтально относительно Земли) - как на поверхности положительной кривизны на рис. 5.28. Таким образом, создается впечатление, что наше пространство-время, как и вышеупомянутые поверхности, тоже обладает кривизной, только более сложной, поскольку из-за высокой размерности пространства-времени при различных перемещениях она может носить смешанный характер, не будучи ни чисто положительной, ни чисто отрицательной. [37]
Теперь остается учесть третий факт, заключающийся в том, что основной метрической формой поверхности вполне определяется внутренняя ее геометрия. Так как поверхность постоянной отрицательной кривизны имеет ту же основную метрическую форму, что и плоскость Лобачевского, то она всегда несет на себе геометрию ( планиметрию) Лобачевского. Как уже было сказано, Бельтрами назвал поверхности постоянной отрицательной кривизны псевдосферическими. Его замечательное открытие можно поэтому формулировать так: на всякой псевдосферической поверхности осуществляется геометрия Лобачевского. [38]
Евклида; 3) сфера представляет собой поверхность постоянной положительной кривизны. Бельтрами первый заметил связь между внутренней геометрией поверхностей постоянной отрицательной кривизны и геометрией Лобачевского. [39]
Здесь гауссова кривизна является переменной функцией. Тем самым мы докажем утверждение: в трехмерном евклидовом пространстве существуют ( локально) поверхности постоянной положительной, нулевой и отрицательной кривизны. [40]
В точке 40, на границе между выпуклой и вогнутой частями поверхности, образуется резкий перелом контура тени. Подобный характер кривой контура тени кажется необычным, так как поверхность всюду гладкая. Выпуклая ее часть является поверхностью положительной кривизны, а вогнутая часть, напротив - поверхностью отрицательной кривизны. Параллель, разделяющая эти части поверхности, содержит параболические точки и аналогична поверхности нулевой кривизны. [41]
В этом примере гауссова кривизна является переменной функцией. Тем самым мы докажем следующее утверждение: в трехмерном евклидовом пространстве существуют ( локально) поверхности постоянной положительной, нулевой и отрицательной кривизны. [42]
Отметим, что данной тематикой независимо стали заниматься в середине 60 - х годов на другом полушарии. В работе [80] были доказаны теорема Вейля, гипотеза Вейля и еще несколько близких к тематике теорем для поверхностей постоянной отрицательной кривизны. К сожалению, Н.Г. Маркли опубликовал только небольшую часть своих результатов [79], которые понадобились ему для изучения квазиминимальных множеств потоков на торе и бутылке Клейна. [43]
Риман, по-видимому, не был знаком с работами Лобачевского и Бойаи, хотя они хорошо были известны К. Бельтрами опубликовал свой классический труд по интерпретации неевклидовых геометрий ( 1868), где он исследовал результаты Лобачевского, Бойаи и Римана, и доказал, что метрические свойства пространства являются только определениями. Из этих исследований выяснилось, что все три типа геометрий возможны для поверхностей постоянной кривизны: геометрия Лобачевского - на поверхности постоянной отрицательной кривизны, римаиова - на поверхности постоянной положительной кривизны и евклидова - на поверхности нулевой кривизны. Эти геометрии называются также соответственно: гиперболическая, эллиптическая и параболическая. Рассмотрим их вкратце в нижеследующем параграфе. [44]
Однако уже довольно давно было понято, что основной класс динамических систем с непрерывным спектром - это класс систем с лебеговым спектром бесконечной кратности. Систем с лебеговым спектром конечной кратности не удалось, насколько нам известно, построить до сих пор. Системы же со счетно-кратным лебеговым спектром к моменту появления работы А. Н. Колмогорова были уже хорошо известны: это автоморфизмы Бернулли и родственные им примеры из теории вероятностей ( см. [18]), эргодические автоморфизмы коммутативных компактных групп ( см. [10]), геодезические потоки на поверхностях постоянной отрицательной кривизны ( см. [5]) и ряд других. [45]
Страницы: 1 2 3 4