Cтраница 4
Проективной геометрии принадлежит теория поверхностей и конгруэнции Е, полученная G. Поверхности постоянной отрицательной кривизны тоже поверхности Е: система Е состоит из линий кривизны. Если поверхность имеет две системы Е7 то она имеет оо таких систем. [46]
Эта форма, отнесенная к кривой на поверхности, наз. На поверхности постоянной отрицательной кривизны инвариант Дарбу совпадает с дифференциальным параметром на любой ее кривой. Кривая, в каждой точке к-рой инвариант Дарбу равен нулю, наз. На нелиненчатой поверхности отрицательной кривизны существует одно действительное семейство линий Дарбу. На поверхности положительной кривизны существуют три действительных семейства линий Дарбу. Поверхности Дарбу являются поверхностями 2-го порядка, не развертывающимися на плоскость. [47]
Преобразование Ribaucour a есть частный случай этого; развертывающиеся поверхности конгруэнции прямых соответствуют линиям кривизны. Сферическое изображение их есть изображение асимптотических линий поверхности постоянной отрицательной кривизны. [48]
Но насколько хороша такая терминология. Что обычно понимают под геодезической линией. Рассмотрим аналогию для двумерной искривленной поверхности. Геодезическими называются такие кривые, которые на данной поверхности ( локально) служат кратчайшими маршрутами. Иначе говоря, если представить себе отрезок нити, натянутый на указанную поверхность ( и не слишком длинный, чтобы он не мог соскользнуть), то нить расположится вдоль некоторой геодезической линии на поверхности. На поверхности положительной кривизны две соседние геодезические линии, выходящие из начальных точек параллельно друг другу, начинают впоследствии изгибаться навстречу друг другу; а на поверхности отрицательной кривизны они изгибаются в стороны друг от друга. [49]