Cтраница 1
Поверхность Римана с конечным числом листов переходит при этом в бесконечно разветвленную поверхность. На первом листе р ir, падает плоская волна, она немного переходит в соседние листы тс ср Зя и - тс о - Зтс, тогда как в дальнейших листах поле возбуждается все меньше и меньше. [1]
Поверхности Римана для алгебраических функций представляют собой поверхности замкнутые, не имеющие границ. Понятие о связности применяется к поверхности, имеющей край, поэтому для возможности приложения этого понятия к поверхностям Римана мы будем предполагать, что около какой-нибудь точки поверхности Римана мы вырежем некоторую площадку, границу которой мы и будем рассматривать как границу римановой поверхности. [2]
В этом частном случае поверхность Римана представляет собою следующее. Представим себе наложенными друг на друга два экземпляра плоскости комплексного переменного ( фиг. [3]
Так как каждой точке поверхности Римана соответствует одна точка сети фундаментальных областей, то и сеть фундаментальных областей можно рассматривать как поверхность Римана. [4]
Такая сеть представляет собой простейший вид поверхности Римана. [5]
Таким образом, из 2п листов поверхности Римана в точке w оо циклически сходятся обе группы по п листов, а в каждой из точек ш 1 и w - сходятся п раз по два листа. Детали расположения этих листов представятся нагляднее, если мы изучим соответствующее разбиение сферы z на полуобласти. [6]
Заметим, что при р 0 каноническую поверхность Римана можно, очевидно, превратить в сферу, а при р 1 - в тор. [7]
Римана, представляющую или поверхность наложения, или преобразованную поверхность Римана с р дырами. [8]
Для всей теории алгебраических функций основную роль играет число дыр в канонической поверхности Римана. Число дыр называется жанром поверхности, или соответствующей алгебраической функции. [9]
Точно так же вершины В, В и В, соответствующие на поверхности Римана одной точке В, образуют тройной цикл. [10]
Возьмем какую-нибудь функцию, голоморфную в любой точке тора, который рассматриваем как поверхность Римана. Так как на торе могут быть замкнутые линии, которые непрерывной деформацией не сводятся в точку ( например, линии L и jLj на фиг. Римана везде голоморфвы, но не однозначны. [11]
Но здесь прежде всего возникает вопрос о характере и положении точек ветвления на поверхности Римана. Так как w является однозначной функцией переменной z, то положение точек ветвления будет нам известно, если мы будем знать соответствующие им точки на сфере z; я обыкновенно называю их просто замечательными точками сферы г. Им тоже соответствует известная кратность, равная кратности соответствующих им точек ветвления. Я приведу без подробного доказательства теоремы, решающие эту задачу. При этом я предполагаю, что эти, собственно говоря, довольно простые факты из области теории функций в общем вам знакомы, хотя, быть может, и не в той однородной трактовке, которой я здесь отдаю предпочтение. [12]
Кроме того, все точки О, О, О, изображающие точку О поверхности Римана, образуют еще один тройной цикл. [13]
Для полноты покажем еще, что точка X h лежит в верхнем листе нашей поверхности Римана. Если бы эта точка лежала в одном из нижних листов, то она выпала бы ив нашего рассмотрения, так как путь интегрирования не мог бы проходить черев нее. [14]
Подобным же образом можно униформизировать и функции, которые имеют точки ветвления, на некоторой поверхности Римана, отличные от критических точек самой поверхности. [15]