Cтраница 2
Естественно возникает вопрос: нельзя лп построить не только непрерывное, но и конформное отображение поверхности Римана на плоскую фигуру, аналогичную фиг. [16]
Отображенный поток частично перекрывается с исходным потоком, и поэтому его следует рассматривать на отдельном листе поверхности Римана. [17]
В случае, если мы имеем функцию жанра 0, как было выше указано, можно превратить ее поверхность Римана в сферу путем непрерывных и взаимно однозначных преобразований, то-есть поверхность Римана жанра 0 гомеоморфна сфере, или, что то же, комплексной плоскости. [18]
Заметим, что при помощи автоморфных функций z ф ( t) уни-формиэируются ке только однозначные функции на поверхности Римана, но вообще всякие функции, которые на поверхности Римана не имеют точек ветвления. Так, например, абелевы интегралы первого рода, не имеющие на поверхности Римана критических точек, будут однозначными функциями параметра t, так как обходу на римановой поверхности S по замкнутой кривой, которая непрерывной деформацией не может быть сведена в точку, соответствует изменение вдоль линии на плоскости ( t), которая соединяет точку фундаментальной области с эквивалентной ей точкой другой фундаментальной области. Но эти интегралы сами уже но являются автоморфными функциями, совершенно так же, как эллиптический интеграл первого рода не есть эллиптическая функция. [19]
Так как отдельный тор может быть отображен на параллелограмм плоскости ( z), то за отдельные листы поверхности Римана для функции w можно взять такие параллелограммы, но при этом эквивалентные точки на противоположных сторонах каждого из этих параллелограммов необходимо считать за совпадающие. [20]
Всегда ли для такой поверхности можно найти подходящее уравнение вида ( 1), для которого построенная поверхность является поверхностью Римана. [21]
Допустим теперь, что точка ( х, у) может совпадать с определенной точкой ( я, Ь) поверхности Римана, но это не может происходить более k раз. [22]
Так как каждой точке поверхности Римана соответствует одна точка сети фундаментальных областей, то и сеть фундаментальных областей можно рассматривать как поверхность Римана. [23]
Вершина е2 одна образует цикл, а все остальные пять вершин также образуют один цикл, так как все они на поверхности Римана ( на торе) соответствуют одной точке ег. [24]
С этой целью я прежде всего замечу, что каждая из обратных функций ш arcsin z и w arccos z дает поверхность Римана с бесконечным числом листов и с местами ветвления - 1, 1, оо, а именно, над точками z l лежит по бесконечному числу точек ветвления первого порядка, а над точкой 2 оо находятся две точки ветвления бесконечно высокого порядка. [25]
Итак, среди всех функций, голоморфных в ограниченной области D и нормированных в точке о, существует единственная функция, которая реализует минимум площади поверхности Римана, преобразованной из D; эта функция выполняет взаимно однозначное конформное отображение области D на круг с центром в начале координат. [26]
Итак, среди всех функций, голоморфных в ограниченной области D и нормированных в точке го, существует единственная функция, которая реализует минимум площади поверхности Римана, преобразованной из D; эта функция выполняет взаимно однозначное конформное отображение области D на круг с центром В начале координат. [27]
Заметим, что при помощи автоморфных функций z ф ( t) уни-формиэируются ке только однозначные функции на поверхности Римана, но вообще всякие функции, которые на поверхности Римана не имеют точек ветвления. Так, например, абелевы интегралы первого рода, не имеющие на поверхности Римана критических точек, будут однозначными функциями параметра t, так как обходу на римановой поверхности S по замкнутой кривой, которая непрерывной деформацией не может быть сведена в точку, соответствует изменение вдоль линии на плоскости ( t), которая соединяет точку фундаментальной области с эквивалентной ей точкой другой фундаментальной области. Но эти интегралы сами уже но являются автоморфными функциями, совершенно так же, как эллиптический интеграл первого рода не есть эллиптическая функция. [28]
Допустим, сверх того, что когда z внутри ( С), точка ( А, у) не совпадает никогда с определенной точкой ( а, Ь) поверхности Римана. Мы говорим, что ( а, Ь) есть исключительная точка для пары. [29]
В случае, если мы имеем функцию жанра 0, как было выше указано, можно превратить ее поверхность Римана в сферу путем непрерывных и взаимно однозначных преобразований, то-есть поверхность Римана жанра 0 гомеоморфна сфере, или, что то же, комплексной плоскости. [30]