Cтраница 3
Определенные таким образом дуги делят сферу г на 2 - 2п треугольных ( при п 1) полуобластей; каждая из них ограничена тремя дугами, по одной каждого рода, и соответствует одному из полулистов поверхности Римана. В замечательных точках сходятся вместе по нескольку областей, а именно, как это и должно быть по таблице кратностей ( с. [31]
Итак, рассмотрим все функции Л ( г), голоморфные в области D, удовлетворяющие условиям ц, ( г0) - 0, л, ( гс) - f 0 и преобразующие область D в поверхность Римана данной площади А. [32]
Предположим, что на поверхности Римана некоторого жанра JD есть критические точки, отличные от точек ветвления первоначальной функции, приводящей к поверхности Римана. Тогда из отдельных экземпляров поверхности Римана можно составить поверхность наложения совершенно так же, как сама многолистиая поверхность Римана составляется из нескольких листов плоскости комплексного переменного, на которых сделаны разрезы, и противоположные их края соединены на различных листах. [33]
Так как для дальнейшего ряд понятий, связанных с поверхностями Римана, имеет существенное значение, то мы разберем основные свойства этих поверхностей. [34]
Положим, что у нас первоначальная поверхность была жанра-3 ( фиг. Тогда получим три системы разрезов, аналогичных выше построенным, и вся поверхность Римана будет непрерывно изображена внутри некоторого 24-уголышка. Соответствие его сторон показано на фиг. Для каждой тройки разрезов вершины А, А, А и Alv эквивалентны, так как все они изображают одну и ту же точку А поверхности Римана. [35]
Диссертация заканчивается приложением общих результатов теории к конформному отображению римановых поверхностей. Здесь Риман получает следующее предложение: Две одкосвязные плоские поверхности ( подразумеваются многолистные поверхности Римана. [36]
Заметим, что при помощи автоморфных функций z ф ( t) уни-формиэируются ке только однозначные функции на поверхности Римана, но вообще всякие функции, которые на поверхности Римана не имеют точек ветвления. Так, например, абелевы интегралы первого рода, не имеющие на поверхности Римана критических точек, будут однозначными функциями параметра t, так как обходу на римановой поверхности S по замкнутой кривой, которая непрерывной деформацией не может быть сведена в точку, соответствует изменение вдоль линии на плоскости ( t), которая соединяет точку фундаментальной области с эквивалентной ей точкой другой фундаментальной области. Но эти интегралы сами уже но являются автоморфными функциями, совершенно так же, как эллиптический интеграл первого рода не есть эллиптическая функция. [37]
Обычное содержание курса по теории аналитических функций ограничивается общими теоремами, их приложениями почти исключительно к однозначным функциям, теоремами существования и простейшими примерами конформного отображения и иногда вопросами, относящимися к теореме Пикара и ее различным обобщениям и к теории однолистных функций. При этом совершенно выпадают такие основные вопросы, как теория алгебраических функций, поверхностей Римана, понятие о жанре алгебраической функции, и вообще все вопросы, связанные с многозначными функциями, характером и классификацией их особых точек, и, наконец, основные понятия теории полиэдрических, модулярных и автоморфных функций, то-есть всех функций, связанных с теорией групп движения, с одной стороны, и с важнейшими вопросами конформного отображения-с другой. [38]
При переходе через них, так же как при переходе через нашу ломаную линшо в любом другом месте, мы переходим из положительной в отрицательную полуплоскость плоскости Ел или наоборот. Нашу плоскость а нужно, следовательно, в свою очередь представлять себе как двухлистную поверхность Римана соответственно двум значениям - Ra. Те области представленного на рис. 93 верхнего листа, которые не заштрихованы и соответствуют отрицательно мнимой полуплоскости Ел, будут заштрихованы в нижнем листе, так как там они соответствуют положительно мнимому Ra и наоборот. На нашем чертеже пунктиром обозначены те кривые, которые проходят в нижнем листе, сплошные кривые проходят в верхнем листе. [39]
Когда жанр больше единицы, можно выразить х и у как мероморфные функции параметра и, модуль которого не превосходит единицы. Между точками области, ограниченной дугами окружности и содержащейся полностью в круге и 1, и точками поверхности Римана, определенной алгебраическим соотношением, существует взаимно однозначное соответствие. Функция и ( д:, у) голоморфна в каждой точке ( л, у) поверхности Римана, и различные ее определения получаются одно из другого линейным преобразованием. [40]
Поверхности Римана для алгебраических функций представляют собой поверхности замкнутые, не имеющие границ. Понятие о связности применяется к поверхности, имеющей край, поэтому для возможности приложения этого понятия к поверхностям Римана мы будем предполагать, что около какой-нибудь точки поверхности Римана мы вырежем некоторую площадку, границу которой мы и будем рассматривать как границу римановой поверхности. [41]
Предположим, что на поверхности Римана некоторого жанра JD есть критические точки, отличные от точек ветвления первоначальной функции, приводящей к поверхности Римана. Тогда из отдельных экземпляров поверхности Римана можно составить поверхность наложения совершенно так же, как сама многолистиая поверхность Римана составляется из нескольких листов плоскости комплексного переменного, на которых сделаны разрезы, и противоположные их края соединены на различных листах. [42]
Поверхности Римана для алгебраических функций представляют собой поверхности замкнутые, не имеющие границ. Понятие о связности применяется к поверхности, имеющей край, поэтому для возможности приложения этого понятия к поверхностям Римана мы будем предполагать, что около какой-нибудь точки поверхности Римана мы вырежем некоторую площадку, границу которой мы и будем рассматривать как границу римановой поверхности. [43]
Функции этой формы осуществляют взаимно однозначнее и конформное отображение области. Отсюда ьы текает: среди функций ц ( г), голоморфных в области D, ц ( гс) 0, ц ( г) Ф 0-и преобразующих D в поверхность Римана площади А, те функции, которые реализуют максимум ft ( г0), выполняют взаимно однозначное конформное отображение области D на круге центром в начале координат площади А. [44]
Предположим, что на поверхности Римана некоторого жанра JD есть критические точки, отличные от точек ветвления первоначальной функции, приводящей к поверхности Римана. Тогда из отдельных экземпляров поверхности Римана можно составить поверхность наложения совершенно так же, как сама многолистиая поверхность Римана составляется из нескольких листов плоскости комплексного переменного, на которых сделаны разрезы, и противоположные их края соединены на различных листах. [45]